《2025年状元成才路创优作业九年级数学上册湘教版》

9. 新考向 尺规作图 在数学课上,老师布置了一道题,要求同学们利用尺规作图使△ADE与△ABC相似,下面是小华和小亮所作的图形：
关于小华和小亮的作法,下列判断正确的是(C)
A.小华对,小亮错
B.小华错,小亮对
C.两个人都对
D.两个人都错

答案： C

10. 如图,在△ABC中,AD是中线,BC= 8,∠B= ∠DAC,则线段AC的长为(B)

A.4
$B.4√{2} $　　
C.6
$D.4√{3}$　　

答案： B

11. 如图,在菱形ABCD中,点M,N在AC上,ME⊥AD于点E,NF⊥AB于点F.若NF= NM= 2,ME= 3,则AN的长为4.

答案： 4

12. 如图,在□ABCD中,过点A作AE⊥BC,垂足为点E,连接DE,F为线段DE上一点,连接AF,且∠AFE= ∠B.
(1)求证：△ADF∽△DEC；
(2)若AB= 4,BC= 3√{3},AF= 2√{3},求AE的长.

答案：
(1)略.
(2)3.

13. 新考向 类比探究 (1)如图①,在四边形ABCD中,P为AB上一点,∠DPC= ∠A= ∠B= 90°,求证：AD·BC= AP·BP.
(2)如图②,在四边形ABCD中,P为AB上一点,当∠DPC= ∠A= ∠B时,(1)中的结论是否依然成立？请说明理由.

答案：
(1)证明:
∵∠DPC=∠A=90°,
∴∠ADP+∠APD=90°,∠BPC+∠APD=180°-∠DPC=90°.
∴∠ADP=∠BPC.又∠A=∠B,
∴△ADP∽△BPC.
∴$\frac{AD}{BP}=\frac{AP}{BC}$.
∴AD·BC=AP·BP.
(2)解:
(1)中的结论 AD·BC=AP·BP 依然成立.理由如下:
∵∠BPD=∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP,且∠DPC=∠A,
∴∠ADP=∠BPC.又∠A=∠B,
∴△ADP∽△BPC.
∴$\frac{AD}{BP}=\frac{AP}{BC}$.
∴AD·BC=AP·BP.