《2025年状元成才路创优作业九年级数学上册湘教版》

8. 若方程 $2x^{2}+8x - 14 = 0$ 能配方成 $(x + p)^{2}+q = 0$ 的形式,则直线 $y = px + q$ 不经过第二象限。

答案： 二

9. 用配方法解下列方程：
(1)$-4x^{2}+8x - 5 = 0$；
(2)$\frac{2}{3}y^{2}+\frac{1}{3}y = 2$；
(3)$(2x - 1)(x + 3)= -1$。

答案：
(1)方程没有实数根.
(2)$y_{1}=\frac{3}{2}$,$y_{2}=-2$.
(3)$x_{1}=\frac{-5+\sqrt{41}}{4}$,$x_{2}=\frac{-5-\sqrt{41}}{4}$.

10. 有一面积为 $25cm^{2}$ 的三角形,其一边的长比这条边上的高的4倍少10cm,求这条边的长。

答案： 10 cm.

11. [数形结合]解方程 $x^{2}+2x - 35 = 0$ 时,可将方程变形为 $x(x + 2)= 35$,然后画四个长为 $x + 2$,宽为 $x$ 的矩形,按如图①所示的方式拼成一个大正方形,可得 $4x(x + 2)+2^{2}= 4×35 + 4$。因此,可得新方程 $(x + x + 2)^{2}= 144$。因为 $x$ 表示边长,所以 $2x + 2 = 12$,即 $x = 5$,这样就能得到方程的其中一个正根。小颖按如图②所示的方法解方程 $2x^{2}+3x - 2 = 0$,可得 $m= $$\frac{3}{2}$,方程的一个正根为$x=\frac{1}{2}$。

答案： $\frac{3}{2}$ $x=\frac{1}{2}$

【例题】求代数式 $ y^2 + 4y + 8 $ 的最小值。
解：$ y^2 + 4y + 8 = y^2 + 4y + 4 + 4 = (y + 2)^2 + 4 $。
因为 $ (y + 2)^2 \geq 0 $,所以 $ (y + 2)^2 + 4 \geq 4 $。
所以 $ y^2 + 4y + 8 $ 的最小值是 $ 4 $。

答案： 解：$y^2 + 4y + 8 = y^2 + 4y + 4 + 4 = (y + 2)^2 + 4$。
因为$(y + 2)^2 \geq 0$，所以$(y + 2)^2 + 4 \geq 4$。
所以$y^2 + 4y + 8$的最小值是$4$。

1. 当 $ x = $______ 时,代数式 $ \frac{1}{2}x^2 - 3x + \frac{19}{4} $ 有最______(填“大”或“小”)值,是______。

答案： 3 小 $\frac{1}{4}$

2. 当 $ x = $______ 时,代数式 $ -x^2 - 10x + 2 $ 有最______(填“大”或“小”)值,是______。

答案： -5 大 27

3. 代数式 $ x^2 + y^2 - 4x + 8y + 25 $ 的最小值是5。

答案： 5