《2025年状元成才路创优作业九年级数学上册湘教版》

6. 如图,在矩形 $ABCD$ 中,$E$ 为 $DC$ 边上一点,把 $\triangle ADE$ 沿 $AE$ 翻折,使点 $D$ 恰好落在 $BC$ 边上的点 $F$ 处。
(1)求证：$\triangle ABF \backsim \triangle FCE$；
(2)若 $AB = 2\sqrt{3}$,$AD = 4$,求 $CE$ 的长。

答案：
(1)略.
(2)$\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

7. 如图,将一个直角的顶点 $P$ 放在矩形 $ABCD$ 的对角线 $BD$ 上滑动,并使其一条直角边始终经过点 $A$,另一条直角边与边 $BC$ 相交于点 $E$,且 $AD = 7$,$DC = 5$,则 $\frac{AP}{PE} = $ $\frac{7}{5}$。

答案： $\frac{7}{5}$

8. 如图,在矩形 $ABCD$ 中,$CE \perp BD$ 于点 $G$,若 $CG = 1$,$BC = \sqrt{3}$,则 $AB$ 的长度为 (B)

A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\frac{\sqrt{6}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{6}}{3}$
D.$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

答案： B

9. 如图,在矩形 $ABCD$ 中,$E$ 是 $AD$ 边的中点,$BE \perp AC$ 于点 $F$,
(1)求证：$\triangle AEF \backsim \triangle CAB$；
(2)探究 $AD$ 与 $CD$ 之间的数量关系,并说明理由。

答案：
(1)证明:$\because BE\perp AC$,$\therefore \angle AFE=90°$.$\because$ 四边形 ABCD 是矩形,$\therefore AD// BC$,$\angle CBA=90°$,$\therefore \angle EAF=\angle ACB$,$\angle AFE=\angle CBA$,$\therefore \triangle AEF\backsim \triangle CAB$.
(2)解:$AD=\sqrt{2}CD$.理由如下:$\because$ 四边形 ABCD 是矩形,$\therefore \angle BAD=\angle ADC=90°$,$AB=DC$.$\therefore \angle BEA+\angle ABE=90°$.$\because \angle AFE=90°$,$\therefore \angle BEA+\angle DAC=90°$,$\therefore \angle ABE=\angle DAC$.又$\angle BAE=\angle ADC$,$\therefore \triangle BAE\backsim \triangle ADC$,$\therefore \frac{AB}{DA}=\frac{AE}{DC}$.$\because AB=DC$,$\therefore DC^2=AD\cdot AE$.$\because$ E 是 AD 的中点,$\therefore AE=\frac{1}{2}AD$.$\therefore CD^2=\frac{1}{2}AD^2$.$\therefore \frac{AD}{CD}=\sqrt{2}$,即$AD=\sqrt{2}CD$.