《2025年状元成才路创优作业九年级数学上册湘教版》

12. [2024·醴陵期末]如图,一次函数$y = kx + b与反比例函数y= \frac{m}{x}的图象交于A(2,3)$,$B(-3,n)$两点.
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)根据所给条件,请直接写出关于$x的不等式kx + b\lt\frac{m}{x}$的解集为$x＜-3$或$0＜x＜2$；
(3)过点$B作BC\perp x$轴,垂足为点$C$,连接$AC$,求$\triangle ABC$的面积.

(1)一次函数的表达式为$y=x+1$,反比例函数的表达式为$y=\frac {6}{x}.$
(3)5.

答案：
(1)一次函数的表达式为$y=x+1$,反比例函数的表达式为$y=\frac {6}{x}.$
(2)$x＜-3$或$0＜x＜2$
(3)5.

13. 反比例函数$y= \frac{k}{x}(x\lt0,k\lt0)和y= \frac{3}{x}(x\lt0)$的图象如图所示,点$P(m,0)是x$轴负半轴上一动点,过点$P作直线AB\perp x$轴,分别交两图象于$A$,$B$两点,连接$OA$,$OB$.
(1)若$m = -1$,$AB = 9$,求点$A$,$B的坐标及k$的值.
(2)雯雯同学猜想：“当$k$一定时,$\triangle OAB的面积随m$的增大而增大.”你认为她的猜想对吗？说明理由.

答案： 解:
(1)把$x=-1$代入$y=\frac {3}{x}$,得$y=-3$.所以$B(-1,-3).$因为$AB=9$,点 A 位于第二象限,所以$A(-1,6).$把$A(-1,6)$代入$y=\frac {k}{x}$,得$k=-6.$
(2)雯雯同学的猜想不对.理由如下:由反比例函数中 k 的几何意义可知,$S_{\triangle AOP}=\frac {|k|}{2}=-\frac {k}{2},$$S_{\triangle BOP}=\frac {3}{2}$,所以$S_{\triangle OAB}=S_{\triangle AOP}+S_{\triangle BOP}=-\frac {k}{2}+\frac {3}{2}=\frac {3-k}{2}$,即$\triangle OAB$的面积与 m 的值无关.所以雯雯同学的猜想不对.

【例题】如图,反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $($ x ＞ 0 $)的图象交矩形 $ OABC $ 的边 $ AB $ 于点 $ D $,边 $ BC $ 于点 $ E $,且 $ EB = 2EC $。若四边形 $ ODBE $ 的面积为 $ 6 $,则 $ k $ 的值为______。

方法：设参法(通法)
第一步 设点：设点 $ C $ 的坐标为 $ (a, 0) $。
第二步 标其他点：因为点 $ E $ 与点 $ C $ 的横坐标相同,且点 $ E $ 在反比例函数图象上,所以点 $ E $ 的坐标为(a,$\frac{k}{a}$)。因为 $ BE = 2EC $,所以点 $ B $ 的坐标为(a,$\frac{3k}{a}$)。
第三步 列方程：因为 $ S_{四边形ODBE} = S_{矩形OABC} - S_{\triangle AOD} - S_{\triangle COE} = 6 $,所以代入点 $ B $ 的坐标后,解得 $ k = $3。

答案： (a,$\frac{k}{a}$) (a,$\frac{3k}{a}$) 3

【针对训练】
[2024·岳阳期末]如图,$ A $,$ B $ 是双曲线 $ y = \frac{k}{x} $ 上的两点,过点 $ A $ 作 $ AC \perp x $ 轴,交 $ OB $ 于点 $ D $,垂足为点 $ C $,连接 $ OA $。若 $ \triangle ADO $ 的面积为 $ 1 $,$ D $ 为 $ OB $ 的中点,则 $ k $ 的值为$\frac{8}{3}$。

答案： $\frac{8}{3}$