《2025年状元成才路创优作业九年级数学上册湘教版》

10. 已知四条成比例线段的长度分别为 6 cm,12 cm,$x$ cm,8 cm,若 $\triangle ABC$ 的三边长分别为 3 cm,5 cm,$x$ cm,则 $\triangle ABC$ 是(C)
A.等边三角形
B.等腰直角三角形
C.直角三角形
D.无法确定形状

答案： C

11. 新考向 尺规作图 [2024·南充中考]如图,已知线段 $AB$,按以下步骤作图：①过点 $B$ 作 $BC\perp AB$,使 $BC = \frac{1}{2}AB$,连接 $AC$；②以点 $C$ 为圆心,以 $BC$ 长为半径画弧,交 $AC$ 于点 $D$；③以点 $A$ 为圆心,以 $AD$ 长为半径画弧,交 $AB$ 于点 $E$.若 $AE = mAB$,则 $m$ 的值为(A)

A.$\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{5} - 2}{2}$
C.$\sqrt{5} - 1$
D.$\sqrt{5} - 2$

答案： A

12. 如图,乐器上的一根弦 $AB = 80$ cm,两个端点 $A$,$B$ 固定在乐器面板上,支撑点 $C$ 是靠近点 $B$ 的黄金分割点,支撑点 $D$ 是靠近点 $A$ 的黄金分割点,则支撑点 $C$,$D$ 之间的距离为$(80\sqrt{5}-160)$cm(结果保留根号)。

答案： $(80\sqrt{5}-160)$

13. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AB = 12$,点 $D$,$E$ 分别在边 $AB$,$AC$ 上,$AE = 6$,$EC = 4$,且 $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$.
(1)求 $DB$ 的长.
(2)$DB$,$AB$,$EC$,$AC$ 是比例线段吗？请说明理由。

答案：
(1)4.8.
(2)DB,AB,EC,AC 是比例线段.理由略.

14. [教材 P104 复习题 T11 变式题]如图,以长为 2 cm 的线段 $AB$ 为边作正方形 $ABCD$,取 $AB$ 的中点 $P$,连接 $PD$,在 $BA$ 的延长线上取点 $F$,使 $PF = PD$,以 $AF$ 为边作正方形 $AMEF$,点 $M$ 在 $AD$ 上.
(1)求 $AM$,$DM$ 的长；
(2)求证：$AM^{2} = AD\cdot DM$；
(3)根据(2)的结论写出图中的黄金分割点。

答案：
(1)解:
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AB=AD=2 cm,$\angle BAD=90°$.
∵P 是 AB 的中点,$\therefore AP=\frac{1}{2}AB=1$ cm.在 Rt$\triangle APD$中,AP=1 cm,AD=2 cm,$\therefore PD=\sqrt{AD^2+AP^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$(cm).
∵PF=PD,$\therefore PF=\sqrt{5}$ cm.
∵四边形 AMEF 是正方形，$\therefore AM=AF=PF-AP=(\sqrt{5}-1)$cm.$\therefore DM=AD-AM=(3-\sqrt{5})$ cm.
(2)证明:$\because AM^2=(\sqrt{5}-1)^2=6-2\sqrt{5}$,$AD\cdot DM=2×(3-\sqrt{5})=6-2\sqrt{5}$,$\therefore AM^2=AD\cdot DM$.
(3)解:点 M 是线段 AD 的黄金分割点.