《2025年状元成才路创优作业九年级数学上册湘教版》

某中学九年级学生以“运用函数知识探究自动加热饮水机中的水温随时间的变化规律”为主题,开展综合实践活动.自动加热饮水机的工作程序是：放满水后接通电源,则自动加热,平均每分钟水温上升 $10^{\circ}C$,待加热到 $100^{\circ}C$,饮水机自动停止加热,水温开始下降,直至降至室温,饮水机再次自动加热,重复上述过程.已知某天的水温和室温均为 $20^{\circ}C$,接通电源后,每隔 $8\min$ 记录一次水温,然后小安根据学习函数的经验,建立函数模型来探究该问题,探究过程如下：
(Ⅰ)记录数据：

(Ⅱ)建立模型：在如图所示的平面直角坐标系中描出这些数据所对应的点,发现这些点大致位于两个不同函数的图象上,其中通电时间为 $0\min$ 至 $8\min$,函数的类型最有可能是①；通电时间为 $8\min$ 至 $40\min$,函数的类型最有可能是②.(均填序号)
①一次函数；②反比例函数.
(Ⅲ)求解模型：为使得所描的点尽可能多地落在函数的图象上,根据过程(Ⅱ)所选函数类型,求出函数表达式.
(Ⅳ)应用模型：如果水温随通电时间的变化规律不变,那么就可以求得通电后某个时刻的水温.
阅读以上材料,解答下列问题：
(1)完成小安的探究过程(Ⅱ)；(描点,并选择函数类型)
(2)完成小安的探究过程(Ⅲ)；
(3)林老师这天早上 $7:30$ 将饮水机的电源打开,若他想在 $8:10$ 上课前接到 $40\sim80^{\circ}C$ 的水(水在自动加热阶段不接水),则他应在什么时间段内接水？

(2)当$0\leqslant x\leqslant8$时，函数表达式为$y = 10x + 20$；当$8\lt x\leqslant40$时，函数表达式为$y=\frac{800}{x}$。
(3)7:40至7:50

答案： $(1)$ 完成小安的探究过程$(Ⅱ)$
根据一次函数$y = kx + b$（$k$，$b$为常数，$k\neq0$）的图象是一条直线，反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\neq0$）的图象是双曲线。
通电时间为$0\min$至$8\min$，水温从$20^{\circ}C$均匀上升到$100^{\circ}C$，符合一次函数的变化规律；通电时间为$8\min$至$40\min$，水温下降，且$x = 16$，$y = 50$；$x = 40$，$y = 20$，$16×50=800$，$40×20 = 800$，符合反比例函数$xy = k$（$k$为常数）的特征。
所以答案依次为：①；②。
$(2)$ 完成小安的探究过程$(Ⅲ)$
当$0\leqslant x\leqslant8$时：
设一次函数表达式为$y = kx + b$，将$(0,20)$，$(8,100)$代入可得：
$\begin{cases}b = 20\\8k + b = 100\end{cases}$
把$b = 20$代入$8k + b = 100$，得$8k+20 = 100$，$8k=80$，解得$k = 10$。
所以一次函数表达式为$y = 10x + 20(0\leqslant x\leqslant8)$。
当$8\lt x\leqslant40$时：
设反比例函数表达式为$y=\frac{k}{x}$，将$(16,50)$代入可得$50=\frac{k}{16}$，解得$k = 800$。
所以反比例函数表达式为$y=\frac{800}{x}(8\lt x\leqslant40)$。
$(3)$ 求接水时间段
已知$7:30$打开电源，$8:10$上课，间隔$40$分钟。
当$y = 40$时，代入$y=\frac{800}{x}$，得$40=\frac{800}{x}$，解得$x = 20$；
当$y = 80$时，代入$y=\frac{800}{x}$，得$80=\frac{800}{x}$，解得$x = 10$。
所以他应在$7\colon 40$至$7\colon 50$这个时间段内接水。
综上，$(1)$答案依次为①；②；$(2)$ $0\leqslant x\leqslant8$时，$y = 10x + 20$；$8\lt x\leqslant40$时，$y=\frac{800}{x}$；$(3)$应在$\boldsymbol{7\colon 40}$至$\boldsymbol{7\colon 50}$接水。