《2025年状元成才路创优作业九年级数学上册湘教版》

6. [2025·武冈期中]如图,正方形 $ CEFG $ 的顶点 $ G $ 在正方形 $ ABCD $ 的边 $ CD $ 上,$ AF $ 与 $ CD $ 交于点 $ H $。若 $ AB = 6 $,$ CE = 2 $,则 $ DH $ 的长为(B)

A.2
B.3
C.$ \frac{5}{2} $
D.$ \frac{8}{3} $

答案： B

7. 如图,在四边形 $ ABCD $ 中,对角线 $ AC $,$ BD $ 相交于点 $ E $,且 $ \angle ABD = \angle ACD $。求证：
(1) $ \frac{EB}{EC} = \frac{EA}{ED} $；
(2) $ \angle DAC = \angle CBD $。

答案：
(1)
∵∠ABD=∠ACD，
∴∠ABE=∠DCE．
∵∠AEB=∠DEC（对顶角相等），
∴△AEB∽△DEC（AA）．
∴$\frac{EB}{EC}=\frac{EA}{ED}$．
(2) 由
(1)得$\frac{EB}{EC}=\frac{EA}{ED}$，
∴$\frac{EB}{EA}=\frac{EC}{ED}$．
∵∠AED=∠BEC（对顶角相等），
∴△EAD∽△EBC（SAS）．
∴∠EAD=∠EBC，即∠DAC=∠CBD．

8. 如图,在 $ \triangle ABC $ 和 $ \triangle ADE $ 中,$ AB = 2AD $,$ AC = 2AE $,$ BC = 3 $,且 $ \angle BAD = \angle CAE $,则 $ DE $ 的长为 1.5。

答案： 1.5

9. 如图,$ \angle DAB = \angle EAC $,$ \angle ADE = \angle ABC $。
求证：
(1) $ \triangle ADE \backsim \triangle ABC $；
(2) $ \frac{AD}{AE} = \frac{BD}{CE} $。

答案：
(1)证明：
∵∠DAB=∠EAC，
∴∠DAB+∠BAE=∠EAC+∠BAE，即∠DAE=∠BAC。
在△ADE和△ABC中，
∠ADE=∠ABC，∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC（AA）。
(2)证明：由
(1)知△ADE∽△ABC，
∴AD/AB=AE/AC，即AD/AE=AB/AC。
在△ABD和△ACE中，
∠DAB=∠EAC，AD/AE=AB/AC，
∴△ABD∽△ACE（SAS），
∴AD/AE=BD/CE。

10. 如图,在 $ \triangle ABC $ 与 $ \triangle ADE $ 中,$ \angle ACB = \angle AED = 90° $,$ \angle ABC = \angle ADE $,连接 $ BD $,$ CE $。若 $ AC:BC = 3:4 $,求 $ \frac{BD}{CE} $ 的值。

答案： $\frac{5}{3}$