《2025年状元成才路创优作业九年级数学上册湘教版》

【例题】如图,已知 $ A(-3,4) $,$ B(n,-2) $ 是一次函数 $ y = kx + b $ 的图象和反比例函数 $ y = \frac{m}{x} $ 的图象的两个交点,直线 $ AB $ 与 $ x $ 轴交于点 $ C $。
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)观察图象,直接写出 $ kx + b \geq \frac{m}{x} $ 时 $ x $ 的取值范围；
(3)求 $ \triangle AOB $ 的面积。

答案：
(1)反比例函数的表达式为$y=-\frac{12}{x}$，一次函数的表达式为$y=-\frac{2}{3}x+2$.
(2)$x\leq -3$或$0＜x\leq 6$.
(3)9.

【变式设问 1】
如图,过点 $ A $ 作 $ AD \perp x $ 轴于点 $ D $,若点 $ P $ 在双曲线 $ y = \frac{m}{x} $ 上,且 $ \triangle PAD $ 的面积为 $ 4 $,求点 $ P $ 的坐标。

答案： $(-1,12)$或$\left(-5,\frac{12}{5}\right)$.

【变式设问 2】
如图,点 $ A $ 关于原点 $ O $ 的对称点为点 $ A' $,在 $ x $ 轴上找一点 $ P $,使 $ PA' + PB $ 最小,求出点 $ P $ 的坐标。

答案： $(5,0)$.

【变式设问 3】
如图,在 $ y $ 轴上是否存在点 $ Q $,使得 $ \triangle AOQ $ 为等腰三角形？若存在,求出点 $ Q $ 的坐标；若不存在,请说明理由。

答案： 解:在y轴上存在点Q，使得$\triangle AOQ$为等腰三角形.
因为$A(-3,4)$，所以$OA=\sqrt{3^2+4^2}=5$.
①当$OA=OQ$时，$OQ=OA=5$.
此时点Q的坐标为$(0,5)$或$(0,-5)$.
②当$AQ=AO$时，点A在OQ的垂直平分线上.
因为$A(-3,4)$，所以易得点Q的坐标为$(0,8)$.
③当$OQ=AQ$时，点Q在OA的垂直平分线上，如图，过点A作$AF\perp y$轴于点F，则$F(0,4)$.
设$OQ=m$，则$AQ=m$，$FQ=4-m$.
在$Rt\triangle AFQ$中，$AF^2+FQ^2=AQ^2$，
即$3^2+(4-m)^2=m^2$，解得$m=\frac{25}{8}$.
所以点Q的坐标为$\left(0,\frac{25}{8}\right)$.
综上所述，点Q的坐标为$(0,5)$或$(0,-5)$或$(0,8)$或$\left(0,\frac{25}{8}\right)$.