《2025年状元成才路创优作业九年级数学上册湘教版》

9. 若点 $ A(a,m) $ 和点 $ B(b,n) $ 在反比例函数 $ y = \dfrac{4}{x} $ 的图象上,且 $ a ＜ b $,则(D)
A.$ m ＞ n $
B.$ m ＜ n $
C.$ m = n $
D.$ m $,$ n $ 的大小无法确定

答案： D

10. 已知点 $ M(2,a) $ 在反比例函数 $ y = \dfrac{k}{x} $ 的图象上,其中 $ a $,$ k $ 为常数,且 $ k ＞ 0 $,则点 $ M $ 一定位于(A)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： A

11. [T6 变式]若点 $ A(-5,y_1) $,$ B(2,y_2) $,$ C(5,y_3) $ 都在反比例函数 $ y = \dfrac{10}{x} $ 的图象上,则 $ y_1 $,$ y_2 $,$ y_3 $ 的大小关系是$ y_{1}＜y_{3}＜y_{2} $(用“$＜$”连接)。

答案： $ y_{1}＜y_{3}＜y_{2} $

12. 如图,若反比例函数 $ y = \dfrac{\sqrt{3}}{x}(x ＞ 0) $ 的图象经过等边三角形 $ POQ $ 的顶点 $ P $,则 $ \triangle POQ $ 的边长为2。

答案： 2

13. 已知函数 $ y = (m - 2)x^{m^2 - 10} $ 是关于 $ x $ 的反比例函数,且函数图象位于第一、三象限。
(1)求 $ m $ 的值；
(2)当 $ -3 \leq x \leq -\dfrac{1}{2} $ 时,求函数的最大值和最小值。

答案：
(1)3.
(2)最大值为$ -\frac{1}{3} $,最小值为-2.

14. 如图,在平面直角坐标系中,$ A $,$ B $ 两点的坐标分别为 $ (-2,0) $,$ (0,3) $,将线段 $ BA $ 绕点 $ B $ 逆时针旋转 $ 90° $ 得到线段 $ BC $,过点 $ C $ 作 $ CD \perp OB $ 于点 $ D $,反比例函数 $ y = \dfrac{k}{x} $ 的图象经过点 $ C $。
(1)直接写出点 $ C $ 的坐标,并求反比例函数的表达式；
(2)点 $ P $ 在反比例函数 $ y = \dfrac{k}{x} $ 的图象上,当 $ \triangle PCD $ 的面积为 $ 3 $ 时,求点 $ P $ 的坐标。

答案： 解:
(1)点C的坐标为(3,1). 将$ C(3,1) $代入$ y=\frac{k}{x} $,得$ 1=\frac{k}{3} $,所以$ k=3 $, 所以反比例函数的表达式为$ y=\frac{3}{x} $.
(2)由题意,设$ P\left( \frac{3}{m},m \right) $. 因为$ C(3,1) $,$ CD \perp y $轴,所以$ CD=3 $. 因为$ \triangle PCD $的面积为3, 所以$ \frac{1}{2}CD \cdot |y_{P}-y_{C}|=3 $,即$ \frac{1}{2} × 3 × |m-1|=3 $. 所以$ m=3 $或$ m=-1 $. 当$ m=3 $时,$ \frac{3}{m}=1 $;当$ m=-1 $时,$ \frac{3}{m}=-3 $. 所以点P的坐标为(1,3)或(-3,-1).