《2025年状元成才路创优作业九年级数学上册湘教版》

1. 如图,在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$CD \perp AB$ 于点 $D$。若 $AD = 2$,$DB = 3$,则 $CD$ 的长为 (A)

A.$\sqrt{6}$
B.3
C.$\sqrt{10}$
D.$\sqrt{15}$

答案： A

2. 如图,在正方形 $ABCD$ 中,$E$ 为 $AB$ 的中点,$AF \perp DE$ 于点 $O$,则 $\frac{AO}{DO}$ 等于 (A)

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{2\sqrt{5}}{3}$

答案： A

3. 如图,点 $P_{1}$,$P_{2}$,$P_{3}$,$P_{4}$ 均在坐标轴上,且 $P_{1}P_{2} \perp P_{2}P_{3}$,$P_{2}P_{3} \perp P_{3}P_{4}$。若点 $P_{1}$,$P_{2}$ 的坐标分别为 $(0, -1)$,$(-2, 0)$,则点 $P_{4}$ 的坐标为 (8,0)。

答案： (8,0)

4. 如图,在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle BAC = 90^{\circ}$,$AD$ 是斜边 $BC$ 上的高。
(1)求证：$\triangle ABD \backsim \triangle CBA$；

(2)若 $AB = 6$,$BC = 10$,求 $BD$ 的长。

答案：
(1)略.
(2)3.6.

5. [2025·长沙市长沙县期末]如图,$P$ 为等边三角形 $ABC$ 的边 $BC$ 上一点,$D$ 为 $AC$ 上一点,$\angle APD = 60^{\circ}$。
(1)求证：$\triangle ABP \backsim \triangle PCD$；
(2)若 $AB = 3$,$BP = 1$,求 $CD$ 的长。

答案：
(1)略.
(2)$\frac{2}{3}$.