《2025年状元成才路创优作业九年级数学上册湘教版》

1. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle A = 90^{\circ} $,则 $ \angle B $ 的正弦值可以表示为(C)

A.$ \frac{BC}{AB} $
B.$ \frac{BC}{AC} $
C.$ \frac{AC}{BC} $
D.$ \frac{AC}{AB} $

答案： C

2. [2025·郴州期末]如图,在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ BC = 4 $,$ AB = 5 $,则 $ \sin A $ 等于(D)

A.$ \frac{3}{4} $
B.$ \frac{4}{3} $
C.$ \frac{3}{5} $
D.$ \frac{4}{5} $

答案： D

变式题组 [条件变式]
(1)在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ AB = 3BC $,则 $ \sin A $ 的值为$\frac{1}{3}$；
(2)在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ AB = 13 $,$ AC = 5 $,则 $ \sin A $ 的值是$\frac{12}{13}$。

答案：
(1)$\frac{1}{3}$；
(2)$\frac{12}{13}$

3. 在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ \sin B = \frac{3}{5} $,$ AC = 6 $,则 $ AB $ 的长是(D)
A.4
B.6
C.8
D.10

答案： D

4. [2024·岳阳期末]在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,若 $ \triangle ABC $ 的三边长都扩大为原来的 2 倍,则 $ \sin B $ 的值(C)
A.缩小为原来的 $ \frac{1}{2} $
B.扩大为原来的 2 倍
C.不变
D.变化情况无法确定

答案： C

5. 新考向 情境题·斜梯 如图,梯子倾斜靠在墙上,若梯子 $ AB $ 长 $ 1.8 m $,$ \sin \angle BAC = \frac{1}{2} $,则梯子顶端 $ B $ 到地面的高度 $ BC $ 是0.9 $ m $。

答案： 0.9

6. [教材 P111 练习 T2 变式题]如图,在平面直角坐标系中,点 $ A $ 的坐标为 $ (3, 4) $,则 $ \sin \alpha $ 的值是$\frac{3}{5}$。

答案： $\frac{3}{5}$

7. [教材 P110 例 1 变式题]在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,数据如图①、图②所示。求 $ \sin A $ 和 $ \sin B $ 的值。
]

答案： 对于图①,$\sin A=\frac{8}{17}$,$\sin B=\frac{15}{17}$.对于图②,$\sin A=\frac{\sqrt{10}}{10}$,$\sin B=\frac{3\sqrt{10}}{10}$.

8. 计算：$ \sin 30^{\circ} + \sqrt{4} - 2^{-1} = $2。

答案： 2

9. 在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ \sin A = \frac{1}{2} $,则 $ \angle B $ 的度数是60°。

答案： 60°