《2025年状元成才路创优作业九年级数学上册湘教版》

【针对训练】
1. [2024·湖北中考]如图,一次函数 $ y = x + m $ 的图象与 $ x $ 轴交于点 $ A(-3,0) $,与反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $($ k $ 为常数,$ k \neq 0 $,$ x ＞ 0 $)的图象交于点 $ B(n,4) $,连接 $ OB $。
(1)求 $ m $,$ n $,$ k $ 的值；
(2)若 $ C $ 是反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $($ x ＞ 0 $)的图象上的点,且 $ \triangle AOC $ 的面积小于 $ \triangle AOB $ 的面积,直接写出点 $ C $ 的横坐标 $ a $ 的取值范围。

答案：
(1)$m=3$，$n=1$，$k=4$.
(2)$a＞1$.

2. [2024·东营中考]如图,一次函数 $ y = mx + n $($ m \neq 0 $)的图象与反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $($ k \neq 0 $)的图象交于点 $ A(-3,a) $,$ B(1,3) $,与 $ x $ 轴、$ y $ 轴分别交于点 $ C $,$ D $,连接 $ OB $。
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)根据图象直接写出关于 $ x $ 的不等式 $ mx + n ＞ \frac{k}{x} $ 的解集；

(3)位于第三象限的反比例函数图象上有一点 $ P $,使得 $ S_{\triangle OCP} = 4S_{\triangle OBD} $,求点 $ P $ 的坐标。

答案：
(1)反比例函数的表达式为$y=\frac{3}{x}$，一次函数的表达式为$y=x+2$.
(2)$-3＜x＜0$或$x＞1$.
(3)$\left(-\frac{3}{4},-4\right)$.

3. 【问题情境】如图,平行于 $ y $ 轴的直尺(一部分)与反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $($ x ＞ 0 $)的图象交于点 $ A $ 和点 $ C $,与 $ x $ 轴交于点 $ B $ 和点 $ D $,点 $ A $,$ B $ 的刻度分别为 $ 5 \, cm $ 和 $ 2 \, cm $,直尺的宽度为 $ 2 \, cm $,$ OB = 2 \, cm $,经过 $ A $,$ C $ 两点的直线的表达式为 $ y = mx + b $。(平面直角坐标系中一个单位长度为 $ 1 \, cm $)
【初步分析】
(1)求反比例函数的表达式和点 $ C $ 的坐标；
(2)求 $ \triangle AOC $ 的面积；
【深入探究】
(3)请直接写出关于 $ x $ 的不等式 $ mx + b - \frac{k}{x} \leq 0 $ 的解集。

答案：
(1)$y=\frac{6}{x}$，$C\left(4,\frac{3}{2}\right)$.
(2)$\frac{9}{2} cm^2$.
(3)$0＜x\leq 2$或$x\geq 4$.