《2025年状元成才路创优作业九年级数学上册湘教版》

9. [2025·邵阳洞口县期中]如图,在$\triangle ABC$中,$D$,$E分别为AB$,$AC$边上的点,$DE // BC$,$BE与CD相交于点F$。若$AD:BD = 3:2$,$DF = 2$,则$CF$的长是(B)

A.3

B.$\frac{10}{3}$
C.$\frac{8}{3}$
D.4

答案： B

10. 新考向 数学文化 [教材P78练习T1变式题]我国古代数学专著《九章算术》中记载了这样一个问题：今有勾五步,股十二步,问勾中容方几何。其大意为：如图,今有$Rt\triangle ABC$,其勾($AB$)长为5步,股($BC$)长为12步,则$Rt\triangle ABC中能容纳的正方形BLMN$的边长最大是(C)

A.5步
B.$\frac{30}{17}$步
C.$\frac{60}{17}$步
D.13步

答案： C

11. 如图是钉板示意图,每相邻的4个钉点都是边长为1的小正方形顶点,钉点$A$,$B的连线与钉点C$,$D的连线相交于点E$,则$AE = $$\frac{4\sqrt{5}}{5}$。

答案： $\frac{4\sqrt{5}}{5}$

12. 如图,在$\triangle ABC$中,$AD是BC$边上的中线,$EF // BC$,分别交$AB$,$AC$,$AD于点E$,$F$,$G$。求证：$EG = FG$。

答案： 证明：
因为$EF// BC$，
在$\triangle ABD$中，
根据平行线分线段成比例定理，由于$EG// BD$，
所以$\frac{EG}{BD}=\frac{AG}{AD}$。
在$\triangle ACD$中，
同理，因为$GF// DC$，
所以$\frac{FG}{DC}=\frac{AG}{AD}$。
由上述两个等式可得$\frac{EG}{BD}=\frac{FG}{DC}$。
又因为$AD$是$BC$边上的中线，即$BD = DC$。
所以$EG = FG$。

13. 如图,在$□ ABCD$中,对角线$AC$,$BD相交于点O$,$E是AD$上的点,$AE:ED = 1:2$,连接$BE交AO于点G$。
(1)求$EG:BG$的值；
(2)求证：$AG = OG$。

答案：
(1)$\frac{1}{3}$.
(2)略.

14. 如图,$AD与BC相交于点E$,点$F在AB$上,$AC // EF // BD$。
(1)求证：$\frac{1}{AC} + \frac{1}{BD} = \frac{1}{EF}$；
(2)若$AC = 3$,$EF = 2$,求$BD$的长。

答案：
(1)略.
(2)6.