《2025年状元成才路创优作业九年级数学上册湘教版》

核心方法
(1)已知反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k ＞ 0 $ 且 $ k $ 为常数),点 $ A $,$ C $ 在反比例函数图象上,$ AB \perp x $ 轴于点 $ B $,$ CD \perp y $ 轴于点 $ D $。

① 如图①,若 $ AE \perp y $ 轴于点 $ E $,$ CF \perp x $ 轴于点 $ F $,则 $ S_{四边形AEOB} = $______,$ S_{四边形CDOF} = $______。
② 【面积法·同底等高】如图②,$ S_{\triangle AOB} = $______,$ S_{\triangle COD} = $______。若 $ M $ 为 $ y $ 轴上任意一点,则 $ S_{\triangle ABM} = S_{\triangle} $______ $ = $______。

答案： ①k k ②$\frac{1}{2}k$ $\frac{1}{2}k$ AOB $\frac{1}{2}k$

1. [2024·永州零陵区期末]如图,反比例函数 $ y = -\frac{2}{x}(x ＞ 0) $ 的图象上有一点 $ P $,$ PA \perp x $ 轴于点 $ A $,点 $ B $ 在 $ y $ 轴上,则 $ \triangle PAB $ 的面积为(A)

A.1
B.2
C.4

D.8
]

答案： A

变式题
[逆向变式][2025·张家界桑植县期末]在平面直角坐标系中,反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的部分图象如图所示,$ AB \perp y $ 轴于点 $ B $,点 $ P $ 在 $ x $ 轴上。若 $ \triangle ABP $ 的面积为 2,则 $ k $ 的值为-4。

答案： -4

2. [2025·长沙雨花区期末]如图,点 $ M $,$ N $ 在反比例函数 $ y = \frac{4}{x}(x ＞ 0) $ 的图象上,分别过点 $ M $,$ N $ 作坐标轴的垂线。若 $ S_{阴影} = 2 $,则 $ S_1 + S_2 $ 的值为4。

答案： 4

3. 如图,$ □ ABCD $ 的顶点 $ A $ 在反比例函数 $ y = \frac{3}{x}(x ＞ 0) $ 的图象上,其余顶点均在坐标轴上,则 $ □ ABCD $ 的面积为3。

答案： 3

4. 如图,点 $ P $,$ Q $ 在反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k ＞ 0) $ 的图象上,过点 $ P $ 作 $ PA \perp x $ 轴于点 $ A $,过点 $ Q $ 作 $ QB \perp y $ 轴于点 $ B $。若 $ \triangle POA $ 与 $ \triangle QOB $ 的面积之和为 6,则 $ k $ 的值为6。

答案： 6