《2025年状元成才路创优作业九年级数学上册湘教版》

7. 若代数式 $4x^{2}-2x - 5$ 与 $2x^{2}+1$ 的值互为相反数,则 $x$ 的值是(B)
A.$1$ 或 $-\frac{3}{2}$
B.$1$ 或 $-\frac{2}{3}$
C.$-1$ 或 $\frac{2}{3}$
D.$1$ 或 $\frac{3}{2}$

答案： B

8. 若菱形两条对角线的长度是方程 $x^{2}-6x + 8 = 0$ 的两根,则该菱形的边长为(A)
A.$\sqrt{5}$
B.$4$
C.$2\sqrt{5}$
D.$5$

答案： A

9. [新定义问题]若 $a$,$b$ 是两个实数,定义一种运算“$\triangle$”：$a\triangle b = a(a - b)$,则方程 $4x\triangle(2x + 3)= 3 - 2x$ 的实数根是$x_{1}=-\frac {1}{4},x_{2}=\frac {3}{2}$.

答案： $x_{1}=-\frac {1}{4},x_{2}=\frac {3}{2}$

10. 解下列方程：
(1) $(x - 3)^{2}-4x^{2}= 0$；
(2) $(x - \sqrt{6})^{2}= -4\sqrt{6}x$；
(3) $x^{2}-1 = 3x + 3$；
(4) $(2x - 1)(2x + 5)= 6x + 4$.

答案：
(1)$x_{1}=1,x_{2}=-3$.
(2)$x_{1}=x_{2}=-\sqrt {6}$.
(3)$x_{1}=-1,x_{2}=4$.
(4)$x_{1}=\frac {-1+\sqrt {37}}{4},x_{2}=\frac {-1-\sqrt {37}}{4}.$

11. [教材 P42 习题 T10 变式题]先化简,再求值：$(1-\frac{3}{x + 1})÷\frac{x^{2}-4}{x + 1}$,其中 $x$ 满足一元二次方程：$x^{2}-5x + 6 = 0$.

答案： 解:原式$=\frac {x-2}{x+1}\cdot \frac {x+1}{(x+2)(x-2)}=\frac {1}{x+2}.$解方程$x^{2}-5x+6=0$,得$x_{1}=2,x_{2}=3.$因为$x+1≠0,(x+2)(x-2)≠0$,所以$x=3.$当$x=3$时,$\frac {1}{x+2}=\frac {1}{3+2}=\frac {1}{5}.$

12. 新考向 规律探索 阅读下列材料：
①方程 $x^{2}-x - 2 = 0$ 的解为 $x_{1}= -1$,$x_{2}= 2$；
②方程 $x^{2}-2x - 3 = 0$ 的解为 $x_{1}= -1$,$x_{2}= 3$；
③方程 $x^{2}-3x - 4 = 0$ 的解为 $x_{1}= -1$,$x_{2}= 4$；
……
(1) 根据以上方程和解的特征,请猜想方程 $x^{2}-8x - 9 = 0$ 的解为$x_{1}=-1,x_{2}=9$；
(2) 关于 $x$ 的方程 $x^{2}-nx-(n + 1)= 0$ 的解为$x_{1}=-1,x_{2}=n+1$,并用公式法验证.
验证:这里$a=1,b=-n,c=-(n+1).$因而$b^{2}-4ac=(-n)^{2}-4×1×[-(n+1)]=(n+2)^{2}≥0,$所以$x=\frac {n\pm \sqrt {(n+2)^{2}}}{2}=\frac {n\pm (n+2)}{2},$所以$x_{1}=-1,x_{2}=n+1.$

答案： 解:
(1)$x_{1}=-1,x_{2}=9$;
(2)$x_{1}=-1,x_{2}=n+1$验证:这里$a=1,b=-n,c=-(n+1).$因而$b^{2}-4ac=(-n)^{2}-4×1×[-(n+1)]=(n+2)^{2}≥0,$所以$x=\frac {n\pm \sqrt {(n+2)^{2}}}{2}=\frac {n\pm (n+2)}{2},$所以$x_{1}=-1,x_{2}=n+1.$