《2025年状元成才路创优作业九年级数学上册湘教版》

8. [2024·岳阳期末]已知两个非零实数 $x,y$,且 $3x = 2y$,则下列结论一定正确的是 (C)
A.$x = 2,y = 3$
B.$\frac{x}{3}= \frac{y}{2}$
C.$\frac{x + y}{y}= \frac{5}{3}$
D.$\frac{x + 2}{y + 3}= \frac{2}{3}$

答案： C

9. [2025·武冈期中]已知 $\frac{x}{3}= \frac{y}{5}= k$,且 $x + y = 24$,则 $k$ 的值为3.

答案： 3

变式题组 [条件变式]
(1)若 $a:b = 3:4$,且 $a + b = 14$,则 $2a - b$ 的值是4.
(2)已知 $\frac{a}{5}= \frac{b}{4}= \frac{c}{6}$($a,b,c$ 为非零实数),则 $\frac{2a + b}{3c}$的值为$\frac{7}{9}$.

答案：
(1)4
(2)$\frac{7}{9}$

10. 新考向 传统文化·铜衡杆 如图是《九章算术》中记载的战国时期的铜衡杆,把被称物品与秤锤放在鼻纽两边不同位置的刻线上,用同一个秤锤就可以称出大于它一倍或几倍质量的物体.图中被称物品的质量是秤锤质量的1.2倍.

答案： 1.2

11. 已知 $\frac{b}{a}= \frac{c}{d}\neq1$,求证：$\frac{b + a}{b - a}= \frac{c + d}{c - d}$.

答案： 证明：设$\frac{b}{a}=\frac{c}{d}=k(k\neq1)$，则$b=ak$，$c=dk$。
左边$=\frac{b + a}{b - a}=\frac{ak + a}{ak - a}=\frac{a(k + 1)}{a(k - 1)}=\frac{k + 1}{k - 1}$。
右边$=\frac{c + d}{c - d}=\frac{dk + d}{dk - d}=\frac{d(k + 1)}{d(k - 1)}=\frac{k + 1}{k - 1}$。
因为左边=右边，所以$\frac{b + a}{b - a}=\frac{c + d}{c - d}$。

12. 新考向 阅读理解 阅读下面的一段文字：
设 $\frac{a}{b}= \frac{c}{d}=… =\frac{m}{n}= k$,
则有 $a = bk,c = dk,…,m = nk$.
当 $b + d+… + n\neq0$ 时,
$\frac{a + c+… + m}{b + d+… + n}$
$=\frac{bk + dk+… + nk}{b + d+… + n}$
$=\frac{(b + d+… + n)k}{b + d+… + n}$
$=k= \frac{a}{b}$.
我们把它称为等比性质.
利用等比性质解答下列各题：
(1)在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle A'B'C'$ 中,$\frac{AB}{A'B'}= \frac{BC}{B'C'}= \frac{CA}{C'A'}= \frac{3}{4}$,且 $A'B'+B'C'+C'A' = 20\mathrm{cm}$,求 $\triangle ABC$ 的周长；
(2)若 $\frac{a}{b}= \frac{c}{d}= \frac{e}{f}= \frac{2}{3}$且 $2b - d - 5f\neq0$,求 $\frac{2a - c - 5e}{2b - d - 5f}$的值；
(3)[拓展变式]若 $\frac{a}{b + c}= \frac{b}{a + c}= \frac{c}{a + b}= k$,则 $k$的值等于____$\frac{1}{2}$或$-1$.
(1)$\because \frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CA}{C'A'}=\frac{3}{4}$,且$A'B'+B'C'+C'A'=20\ cm$,$\therefore \frac{AB+BC+CA}{A'B'+B'C'+C'A'}=\frac{3}{4}$,$\therefore \triangle ABC$的周长$=AB+BC+CA=\frac{3}{4}(A'B'+B'C'+C'A')=\frac{3}{4}× 20=15(cm)$. $\therefore \triangle ABC$的周长为15 cm.
(2)$\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{2}{3}$,$\therefore \frac{2a}{2b}=\frac{-c}{-d}=\frac{-5e}{-5f}=\frac{2}{3}$.$\because 2b-d-5f\neq 0$,$\therefore \frac{2a-c-5e}{2b-d-5f}=\frac{2}{3}$.

答案： 解:
(1)$\because \frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CA}{C'A'}=\frac{3}{4}$,且$A'B'+B'C'+C'A'=20\ cm$,$\therefore \frac{AB+BC+CA}{A'B'+B'C'+C'A'}=\frac{3}{4}$,$\therefore \triangle ABC$的周长$=AB+BC+CA=\frac{3}{4}(A'B'+B'C'+C'A')=\frac{3}{4}× 20=15(cm)$. $\therefore \triangle ABC$的周长为15 cm.
(2)$\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{2}{3}$,$\therefore \frac{2a}{2b}=\frac{-c}{-d}=\frac{-5e}{-5f}=\frac{2}{3}$.$\because 2b-d-5f\neq 0$,$\therefore \frac{2a-c-5e}{2b-d-5f}=\frac{2}{3}$.
(3)$\frac{1}{2}$或$-1$