《2025年状元成才路创优作业九年级数学上册湘教版》

(1)①化成一般形式后,一次项系数为 $-8$,则 $ k = $______6； 
②在①的条件下,若 $ m $,$ n $ 是该一元二次方程的两个根,则代数式 $ m^{2}-9m - n $ 的值为______-20； 
③在①的条件下,请用配方法解一元二次方程。 当k=6时,原方程可变形为x²-8x+12=0.配方,得x²-8x+4²-4²+12=0,因此(x-4)²=4.由此得x-4=2或x-4=-2.解得x₁=6,x₂=2.
(2)[一题多解]当方程的一个根为 $ 3 $ 时,求 $ k $ 的值及方程的另一个根。 解:方法一:设方程的另一个根为m.由根与系数的关系,得3+m=k+2,3m=2k.因此,有k=3,m=2.所以k的值为3,方程的另一个根为2.方法二:把x=3代入原方程,得9+2k=3(k+2).解得k=3.则原方程可变形为x²-5x+6=0.解得x₁=2,x₂=3.所以k的值为3,方程的另一个根为2.
(3)求证：无论 $ k $ 取任何实数,方程总有实数根。 证明:因为Δ=[-(k+2)]²-4×1×2k=k²+4k+4-8k=(k-2)²≥0,所以无论k取任何实数,方程总有实数根.
(4)若 $ a $,$ b $ 是该一元二次方程的两个根,且 $ a $,$ b $,$ 5 $ 分别是等腰三角形的三边长,求等腰三角形的周长。 解:分两种情况讨论:①当a=b时,Δ=0,即(k-2)²=0,所以k=2.原方程可变形为x²-4x+4=0.解得x₁=x₂=2.因为2,2,5不能构成三角形,所以这种情况不存在.②当a≠b时,设其中一个根a=5,另一个根为b.由根与系数的关系,得5+b=k+2,5b=2k,可得b=2.因为2,5,5能构成三角形,所以等腰三角形的周长为2+5+5=12.综上所述,等腰三角形的周长为12.

答案：
(1)①6 ②-20
③当k=6时,原方程可变形为x²-8x+12=0.
配方,得x²-8x+4²-4²+12=0,因此(x-4)²=4.
由此得x-4=2或x-4=-2.解得x₁=6,x₂=2.
(2)解:方法一:设方程的另一个根为m.
由根与系数的关系,得3+m=k+2,3m=2k.
因此,有k=3,m=2.所以k的值为3,方程的另一个根为2.
方法二:把x=3代入原方程,得9+2k=3(k+2).解得k=3.
则原方程可变形为x²-5x+6=0.解得x₁=2,x₂=3.
所以k的值为3,方程的另一个根为2.
(3)证明:因为Δ=[-(k+2)]²-4×1×2k=k²+4k+4-8k=(k-2)²≥0,所以无论k取任何实数,方程总有实数根.
(4)解:分两种情况讨论:
①当a=b时,Δ=0,即(k-2)²=0,所以k=2.
原方程可变形为x²-4x+4=0.解得x₁=x₂=2.
因为2,2,5不能构成三角形,所以这种情况不存在.
②当a≠b时,设其中一个根a=5,另一个根为b.
由根与系数的关系,得5+b=k+2,5b=2k,可得b=2.
因为2,5,5能构成三角形,
所以等腰三角形的周长为2+5+5=12.
综上所述,等腰三角形的周长为12.