《2025年精彩练习就练这一本九年级数学全一册浙教版评议教辅》

【例 5】在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,∠A,∠B,∠C 所对的边分别为 a,b,c,根据下列条件求出直角三角形的其他元素.
(1)c= 20,∠A= 45°.
(2)a= 36,∠B= 30°.

答案： 解:
(1)$\angle B = 90^{\circ} - \angle A = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$,$\therefore a = b = c\cdot\sin A = 20×\frac{\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2}$.即$\angle B = 45^{\circ}, a = b = 10\sqrt{2}$.
(2)$\angle A = 90^{\circ} - \angle B = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$,$\because \cos B = \frac{a}{c}, \therefore c = \frac{a}{\cos B} = 36÷\frac{\sqrt{3}}{2} = 24\sqrt{3}$.$\because \tan B = \frac{b}{a}, \therefore b = a\cdot\tan B = 36×\frac{\sqrt{3}}{3} = 12\sqrt{3}$.即$\angle A = 60^{\circ}, b = 12\sqrt{3}, c = 24\sqrt{3}$.

【变式】如图,已知在△ABC 中,AB= 6,∠B= 30°,$\tan\angle ACB= \frac{3}{2}$. 求边 AC 的长.

答案：
解:如图,过A作$AH\perp BC$,垂足为H. $\because AB = 6, \angle B = 30^{\circ}, AH\perp BC, \therefore AH = \frac{1}{2}AB = 3$.$\because \tan\angle ACB = \frac{3}{2}$,$\therefore \frac{AH}{HC} = \frac{3}{2}, \therefore CH = 2$,$\therefore AC = \sqrt{3^{2} + 2^{2}} = \sqrt{13}$.

【例 6】如图,小东在教学楼距地面 9 米高的窗口 C 处,测得正前方旗杆顶部 A 点的仰角为 37°,旗杆底部 B 点的俯角为 45°,求国旗 AB 高多少米.(参考数据：sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)

答案：
解:如图,根据题意得,$DB = CE = 9$米. 在$Rt\triangle BCD$中,$BD = 9$米,$\angle BCD = 45^{\circ}$,则$BD = CD = 9$米.在$Rt\triangle ACD$中,$CD = 9$米,$\angle ACD = 37^{\circ}$,则$AD = CD\cdot\tan 37^{\circ} \approx 9× 0.75 = 6.75$(米).则$AB = AD + BD \approx 6.75 + 9 = 15.75$(米).答:国旗AB的高约为15.75米.

【变式】如图,已知点 B,D,C 在同一水平线上,在点 C 处测得建筑物 AB 的顶端 A 的仰角为 α,在点 D 处测得建筑物 AB 的顶端 A 的仰角为 β,若 CD= a,则建筑物 AB 的高度为( )


A.$\frac{a}{\tan\alpha-\tan\beta}$
B.$\frac{a}{\tan\beta-\tan\alpha}$
C.$\frac{a\tan\alpha\tan\beta}{\tan\alpha-\tan\beta}$
D.$\frac{a\tan\alpha\tan\beta}{\tan\beta-\tan\alpha}$

答案： D