《2025年精彩练习就练这一本九年级数学全一册浙教版评议教辅》

【例1】已知二次函数 $ y= ax^2-4ax+a-b(a \neq 0) $ 的图象过点 $ A(-1,2) $,且函数的最大值为 5,则函数的表达式为______.

答案： $y=-\dfrac{1}{3}x^{2}+\dfrac{4}{3}x+\dfrac{11}{3}$

【例2】已知函数 $ y= mx^2-(m+3)x+3 $($ m $ 是常数).
(1)求证：不论 $ m $ 为何值,该函数的图象都经过 $ x $ 轴上的一个定点.
(2)若一次函数 $ y= x-1 $ 的图象与该函数的图象恰好只有一个交点,求 $ m $ 的值及这个交点的坐标.

答案： 解:
(1)证明:当m=0时,y=-3x+3=-3(x-1),
∴当x=1时,y=0;
当m≠0时$,y=mx^{2}-(m+3)x+3=(x-1)(mx-3),$
∴当x=1时,y=0,
∴不论m为何值,该函数的图象都经过x轴上的一个定点(1,0).
(2)当m=0时,y=-3x+3,
∵-3≠1,
∴两函数图象必有一个交点,联立方程
$\begin{cases} y=-3x+3, \\ y=x-1 \end{cases}$解得$\begin{cases} x=1, \\ y=0 \end{cases},$即交点坐标为(1,0);
当m≠0时,把y=x-1代入$y=mx^{2}-(m+3)x+3$得$,x-1=mx^{2}-(m+3)x+3,$整理得$mx^{2}-(m+4)x+4=0,$
∵两函数图象只有一个交点,
∴Δ=0,即$Δ=(m+4)^{2}-4×4m=0.$
解得m=4,
把m=4代入方程$mx^{2}-(m+4)x+4=0$得$,4x^{2}-8x+4=0,$解得x=1,
把x=1代入一次函数y=x-1得,y=0,即两函数图象的交点坐标为(1,0).
故当m=0或m=4时,一次函数y=x-1的图象与该函数的图象恰好只有一个交点,两函数图象的交点坐标为(1,0).

【例3】已知二次函数 $ y= a(x+a)(x+a-1) $.
(1)当 $ a= 2 $ 时,求该二次函数图象的对称轴.
(2)当 $ a＜0 $ 时,判断该二次函数图象的顶点所在的象限,并说明理由.
(3)当 $ 0＜x＜3 $ 时,$ y $ 随着 $ x $ 的增大而增大,求 $ a $ 的取值范围.

答案：
解:
(1)当a=2时,y=2(x+2)(x+1),
∴二次函数图象的对称轴为直线$x=\dfrac{-2-1}{2}=-\dfrac{3}{2}.$
(2)第一象限.理由如下:
由题知二次函数图象与x轴的交点坐标为(-a,0),(1-a,0),
∵a＜0,
∴-a＞0,1-a＞0,且二次函数图象的开口向下,
∴画出二次函数的大致图象如下图所示,
∴该二次函数图象的顶点在第一象限.

(3)当a=0时,显然不符合题意;
∴a≠0,
由
(2)知,二次函数图象的对称轴为直线$x=\dfrac{-a+1-a}{2}=\dfrac{1-2a}{2},$
∵当0＜x＜3时,y随着x的增大而增大,
∴当a＞0时$,\dfrac{1-2a}{2}≤0,$解得$a≥\dfrac{1}{2};$
当a＜0时$,\dfrac{1-2a}{2}≥3,$解得$a≤-\dfrac{5}{2}.$
∴a的取值范围为$a≥\dfrac{1}{2}$或$a≤-\dfrac{5}{2}.$

【例4】已知二次函数 $ y= -(x-h)^2 $($ h $ 为常数),当 $ 2 \leq x \leq 5 $ 时,函数 $ y $ 的最大值为 -1,则 $ h $ 的值为( )

A.1或3
B.4或6
C.3或6
D.1或6

答案： D

【例5】已知函数 $ y= x^2+bx+3b $($ b $ 为常数).
(1)若图象经过点 $ (-2,4) $,则图象经过点 $ (2,4) $ 吗？请说明理由.
(2)若该函数图象不经过第三象限,当 $ -6 \leq x \leq 1 $ 时,函数的最大值与最小值之差为 16,求 $ b $ 的值.

答案： 解:
(1)把点(-2,4)的坐标代入$y=x^{2}+bx+3b$中,得4-2b+3b=4,解得b=0,
∴此函数表达式为$y=x^{2}.$
当x=2时,y=4,
∴图象经过点(2,4).
(2)把x=0代入$y=x^{2}+bx+3b,$得y=3b,
∵抛物线不经过第三象限,
∴3b≥0,即b≥0.
∵$y=x^{2}+bx+3b=(x+\dfrac{b}{2})^{2}-\dfrac{b^{2}}{4}+3b,$
∴抛物线的顶点坐标为$(-\dfrac{b}{2},-\dfrac{b^{2}}{4}+3b).$
∵$-\dfrac{b}{2}≤0,$
∴当$-\dfrac{b^{2}}{4}+3b≥0$时,抛物线不经过第三象限,解得b≤12,
∴$0≤b≤12,-6≤-\dfrac{b}{2}≤0,$
∴当-6≤x≤1时,函数的最小值为$y=-\dfrac{b^{2}}{4}+3b.$
把x=-6代入$y=x^{2}+bx+3b,$得y=36-3b;把x=1代入$y=x^{2}+bx+3b$得y=1+4b.
当$36-3b-(-\dfrac{b^{2}}{4}+3b)=16$时,解得b=20(不符合题意,舍去)或b=4.
当$1+4b-(-\dfrac{b^{2}}{4}+3b)=16$时,解得b=6或b=-10(不符合题意,舍去).
综上所述,b=4或6.