《2025年精彩练习就练这一本九年级数学全一册浙教版评议教辅》

12. 已知二次函数的图象以点A(-1,4)为顶点,且过点B(2,-5).
(1)求该函数的表达式.
(2)直接写出y随x的增大而增大时自变量x的取值范围.

答案： 解:
(1)设二次函数表达式为$y=a(x+1)^{2}+4,$
把$(2,-5)$代入得$a\cdot 9+4=-5$,解得$a=-1,$
∴二次函数的表达式为$y=-(x+1)^{2}+4,$
即$y=-x^{2}-2x+3.$
(2)
∵抛物线开口向下,对称轴为直线$x=-1,$
∴y随x的增大而增大时自变量x的取值范围是$x≤-1.$

13. 已知二次函数 $ y= ax^{2}-2ax+3a-1 $.
(1)求这个二次函数图象的对称轴.
(2)若该二次函数图象开口向上,当 $ 0 \leq x \leq 4 $ 时,y的最小值是3,求当 $ 0 \leq x \leq 4 $ 时,y的最大值.
(3)若点 $ A(n+1,y_{1}) $,$ B(n-1,y_{2}) $ 在函数 $ y= ax^{2}-2ax+3a-1(a ＜ 0) $ 的图象上,且 $ y_{1} ＜ y_{2} $,求n的取值范围.

答案： 解:
(1)二次函数图象的对称轴为直线$x=-\frac {-2a}{2a}=1.$
(2)
∵该二次函数图象开口向上,其对称轴为直线$x=1,$
又$\because 0≤x≤4$时y有最小值,
∴当$x=1$时,$y_{min}=a-2a+3a-1=3,\therefore a=2.$
∴二次函数表达式为$y=2x^{2}-4x+5.$
∵该二次函数图象开口向上,且$x=4$到对称轴的距离大于$x=0$到对称轴的距离,
∴在$0≤x≤4$范围内,当$x=4$时,y有最大值,$y_{max}=2×4^{2}-4×4+5=21.$
(3)
∵点A,B在函数图象上,且$y_{1}＜y_{2},$
$y=ax^{2}-2ax+3a-1(a＜0)$的对称轴为直线$x=1$,开口向下,
第一种情况,当点A,B在对称轴同侧时,$n-1≥1,$$n≥2.$
第二种情况,当点A,B在对称轴异侧时,$\left\{\begin{array}{l} n-1＜1,\\ 1-(n-1)＜n+1-1,\\ n+1＞1,\end{array}\right. $
解得$1＜n＜2$.故n的取值范围是$n＞1.$