《2025年精彩练习就练这一本九年级数学全一册浙教版评议教辅》

9. 如图,$DE是\triangle ABC$的中位线,延长$DE至点F$,使$EF= DE$,连结$CF$. 求证：$\triangle CFE\backsim\triangle ABC$.
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答案： 证明:
∵DE是△ABC的中位线,
∴DE//BC,$DE=\frac{1}{2}BC$,
∴∠ADE=∠B,∠AED=∠ACB.在△ADE和△ABC中,∠ADE=∠B,∠AED=∠ACB,∠A=∠A,$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{2}$,
∴△ADE∽△ABC.又易证明△ADE≌△CFE,
∴∠CFE=∠ADE=∠B,∠CEF=∠AED=∠ACB,∠ECF=∠A,且CF=AD,CE=AE,EF=DE,即$\frac{EF}{BC}=\frac{CF}{AB}=\frac{CE}{AC}=\frac{1}{2}$,
∴△CFE∽△ABC.

10. 如图,已知$\triangle ABO\backsim\triangle CDO$,$BO:DO= 3:4$,若$CD$的长度为12,则$AB$的长度为( )


A.9
B.12
C.16
D.20

答案： A

11. 如图,在正方形网格中,$\triangle ABC$,$\triangle EDF$的顶点都在正方形网格的格点上,$\triangle ABC\backsim\triangle EDF$,则$\angle ABC+\angle ACB$的度数为______.
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答案： 45°

12. 在$\triangle ABC$中,点$D$,$E分别在AC$,$AB$上,$AB= 12$,$AC= 8$,$AD= 6$,如果$\triangle ADE与\triangle ABC$相似,则$AE= $______.

答案： 4或9

13. 如图,在矩形$ABCD$中,点$E$,$F分别在边AD$,$DC$上,$\triangle ABE\backsim\triangle DEF$,$AB= 6$,$AE= 9$,$DE= 2$.
(1)求$EF$的长.
(2)求证：$\angle BEF= 90°$.
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答案： 解:
(1)在Rt△ABE中,$BE=\sqrt{6^2+9^2}=\sqrt{117}=3\sqrt{13}$.
∵△ABE∽△DEF,
∴$\frac{EF}{BE}=\frac{DE}{AB}$,即$\frac{EF}{3\sqrt{13}}=\frac{2}{6}$,
∴$EF=\sqrt{13}$.
(2)证明:
∵△ABE∽△DEF,
∴∠AEB=∠DFE.
∵∠D=90°,
∴∠DEF+∠DFE=90°,
∴∠DEF+∠AEB=90°,
∴∠BEF=90°.