《2025年精彩练习就练这一本九年级数学全一册浙教版评议教辅》

10. 已知二次函数$y= ax^2+4ax+c(a＜0)的图象上三个点的坐标分别为A(3,y_1),B(-1,y_2),C(2,y_3)$,则$y_1,y_2,y_3$的大小关系为( )

A.$y_3＜y_1＜y_2$
B.$y_2＜y_1＜y_3$
C.$y_1＜y_3＜y_2$
D.$y_1＜y_2＜y_3$

答案： C 【解析】
∵y=ax²+4ax+c(a＜0),
∴二次函数的图象开口向下,对称轴是直线x=-2,
∴当x＞-2时,y随x的增大而减小.
∵-1＜2＜3,
∴y₁＜y₃＜y₂.

11. 二次函数$y= x^2+bx + b^2-9$的图象如右(过原点),则$b$的值是______.

答案： 108

12. 已知$x + y= 12$,则代数式$3x^2 + y^2$的最小值为______.

答案： 103 【解析】3x²+y²=3x²+(12-x)²=3x²+144-24x+x²=4x²-24x+144=4(x-3)²+108≥108,
∴3x²+y²的最小值为108.

13. 已知抛物线$y= x^2-2mx经过点A(p,t)和点B(p+2,t)$.
(1)用含有$m的代数式表示对称轴和p$.
(2)用含有$m的代数式表示t$,并求出$t$的最大值.

答案： 解:
(1)
∵抛物线y=x²-2mx,
∴抛物线的对称轴为直线$x=-\dfrac{-2m}{2×1}=m.$
∵抛物线y=x²-2mx经过点A(p,t)和点B(p+2,t),
∴点A(p,t)和点B(p+2,t)关于对称轴对称,t=p²-2mp,
∴$\dfrac{p+p+2}{2}=m,$即p+1=m,
∴p=m-1.
(2)
∵t=(m-1)²-2m(m-1)=-m²+1,
∴当m=0时,t有最大值1.

14. 已知二次函数$y= x^2+2ax-3a$.
(1)若函数图象经过点$(2,5)$.
①求该二次函数的表达式.
②若将平面内一点$A(1,n)向左平移3m(m＞0)$个单位,则与图象上的点$B$重合；若将点$A向右平移m(m＞0)$个单位,则与图象上的点$C$重合,求$n$的值.
(2)设点$M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$是该函数图象上的两点,若$x_1 + x_2= 3$,求证：$y_1 + y_2\geq\frac{9}{2}$.

答案： 解:
(1)①
∵函数图象经过点(2,5),
∴4+4a-3a=5,
∴a=1,
∴该二次函数的表达式为y=x²+2x-3.②由题意可知B(1-3m,n),C(1+m,n),
∵B,C是二次函数y=x²+2x-3图象上的点,
∴B,C关于对称轴直线$x=-\dfrac{2}{2×1}=-1$对称,
∴$\dfrac{1-3m+1+m}{2}=-1,$解得m=2,
∴C(3,n),把x=3代入y=x²+2x-3,得n=9+6-3=12.
(2)证明:
∵x₁+x₂=3,
∴x₂=3-x₁.
∵M(x₁,y₁),N(3-x₁,y₂)是二次函数y=x²+2ax-3a图象上的两点,
∴$y₁+y₂=x₁²+2ax₁-3a+(3-x₁)²+2a(3-x₁)-3a=2x₁²-6x₁+9=2(x₁-\dfrac{3}{2})²+\dfrac{9}{2},$
∵2＞0,
∴$y₁+y₂≥\dfrac{9}{2}.$