《2025年顶尖课课练七年级数学上册人教版》

15. 王老师写了一个式子$(ax^{2}+bx + 2)-(5x^{2}+3x)$，其中$a$，$b$为常数且表示系数，然后让同学们赋予$a$，$b$不同的数值并进行计算。
（1）甲同学给出$a = 5$，$b = -3$，请按照甲同学给出的数值化简原式；
（2）乙同学给出一组数值，最后计算结果为$2x^{2}-4x + 2$，求乙同学给出的$a$，$b$的值；
（3）丙同学给出一组数值，最后的计算结果是个定值，请求出丙同学给出的数值。

答案： （1）-6x+2 （2）a=7，b=-1 （3）原式=2

16. 已知$x$表示一个两位数，$y$表示一个三位数，现把$x$放在$y$的左边组成一个五位数，记为$A$；把$y$放在$x$的左边组成一个五位数，记为$B$。
（1）用含$x$，$y$的代数式表示$A - B$；
（2）$A - B$是$9$的倍数吗？为什么？
（3）已知一个三位数的百位上的数字为$m$，个位上的数字为$n$，把百位上的数字与个位上的数字交换位置，十位上的数字不变，原数与所得新数的差等于$495$，求$m - n$的值。

答案： （1）999x-99y （2）是9的倍数，理由略 （3）m-n=5

17. 【探究】(1)设$abc$是一个三位数，若$a + b + c$可以被$3$整除，则这个数可以被$3$整除。
证明：$\overline{abc}=100a + 10b + c$
$=($99a+9b$)+(a + b + c)$
$=3($33a+3b$)+(a + b + c)$
显然3(33a+3b)能被$3$整除，因此，若$(a + b + c)$能被$3$整除，则$\overline{abc}$就能被$3$整除。
【应用】(2)设$\overline{abcd}$是一个四位数，若$a + b + c + d$可以被$9$整除，试说明这个数可以被$9$整除。

答案： （1）99a+9b 33a+3b 3(33a+3b) （2）略

6. 将一个三位数$\overline{abc}$中间的数字去掉，会成为一个两位数$\overline{ac}$，且满足$\overline{abc}=9\overline{ac}+4c$（如：$155 = 9×15 + 4×5$），试求出所有这样的三位数。

答案： 155，245，335，425，515，605

6. 因$\overline{abc}=100a + 10b + c$，$\overline{ac}=10a + c$，由题意得$100a + 10b + c = 9(10a + c)+4c$，化简得$5(a + b)=6c$（$0\leqslant a$，$b$，$c\leqslant9$，且$a\neq0$）。因$5$是质数，故$c = 5$且$a + b = 6$，从而$a = 1$，$2$，$3$，$4$，$5$，$6$；相应地$b = 5$，$4$，$3$，$2$，$1$，$0$。故所求的数为$155$，$245$，$335$，$425$，$515$，$605$。

答案： 解：设三位数为$\overline{abc}$，则$\overline{abc}=100a + 10b + c$，两位数$\overline{ac}=10a + c$。
由题意得：$100a + 10b + c = 9(10a + c) + 4c$。
化简方程：$100a + 10b + c = 90a + 13c$，移项合并得$10a + 10b = 12c$，即$5(a + b)=6c$。
∵$0\leqslant a,b,c\leqslant9$，$a\neq0$，且$5(a + b)=6c$，
∴$c=5$，则$a + b=6$。
∴当$a=1$时，$b=5$；$a=2$时，$b=4$；$a=3$时，$b=3$；$a=4$时，$b=2$；$a=5$时，$b=1$；$a=6$时，$b=0$。
所求三位数为：155，245，335，425，515，605。