《2025年小题狂做九年级数学上册苏科版提优版》

1. 小思和小博在解方程$2x^{2}+4x+1= 0$时,对方程进行配方,图1是小思的解法,图2是小博的解法,对于两人的解法,说法正确的是(A)
A.两人都正确
B.小思正确,小博不正确
C.小思不正确,小博正确
D.两人都不正确

答案： A

2. 使得$2x^{2}+12x+m= 2(x+3)^{2}-1成立的m$的值是______17.

答案： 17

3. 若代数式$mx^{2}+2(3-2m)x+1(m\neq 0)$是关于x的完全平方式,则$m$的值为1或$\frac{9}{4}$.

答案： 1或$\frac{9}{4}$

4. 运用配方法解决问题：已知$a^{2}-4ab+5b^{2}+c^{2}-6b-2c+10= 0则a+b+c= $10.

答案： 10 提示:因为$a^{2}-4ab+5b^{2}+c^{2}-6b-2c+10=0$,所以$(a-2b)^{2}+(b-3)^{2}+(c-1)^{2}=0$.又因为$(a-2b)^{2}\geq0,(b-3)^{2}\geq0,(c-1)^{2}\geq0$,所以$a-2b=0,b-3=0,c-1=0$.所以$a=6,b=3,c=1$,所以$a+b+c=10$.

5. .用配方法解下列方程:
(1)$(2x + 3)(x -6)= 16$;
(2)$(2y +1)(2y -1)= 2\sqrt{2}y$.

答案：
(1)原方程化为一般形式为$2x^{2}-9x-34=0$.二次项系数化为1,得$x^{2}-\frac{9}{2}x=17$.配方,得$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=17+\frac{81}{16}$,即$(x-\frac{9}{4})^{2}=\frac{353}{16}$.直接开平方,得$x-\frac{9}{4}=\pm\frac{\sqrt{353}}{4}$.所以$x_{1}=\frac{9+\sqrt{353}}{4},x_{2}=\frac{9-\sqrt{353}}{4}$;
(2)整理,得$4y^{2}-2\sqrt{2}y=1$.二次项系数化为1,得$y^{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}y=\frac{1}{4}$.配方,得$y^{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}y+(\frac{\sqrt{2}}{4})^{2}=\frac{1}{4}+(\frac{\sqrt{2}}{4})^{2}$,即$(y-\frac{\sqrt{2}}{4})^{2}=\frac{3}{8}$.直接开平方,得$y-\frac{\sqrt{2}}{4}=\pm\frac{\sqrt{6}}{4}$.所以$y_{1}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4},y_{2}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$

6. 试证明:不论$m$为何值:关于$x$ 的方程$(3m^{2}+5m +3)x^{2}-(4m -1)x -7= 0$总为一元二次方程.

答案： 证明:$3m^{2}+5m+3=3(m^{2}+\frac{5}{3}m+\frac{25}{36}-\frac{25}{36})+3=3(m+\frac{5}{6})^{2}+\frac{11}{12}$.因为$(m+\frac{5}{6})^{2}\geq0$,所以$3(m+\frac{5}{6})^{2}+\frac{11}{12}\geq\frac{11}{12}＞0$.所以不论$m$为何值,关于$x$的方程$(3m^{2}+5m+3)x^{2}-(4m-1)x-7=0$总为一元二次方程.

7..先阅读理解下面的例题:再按要求解答下列问题:
例题:求代数式$y^{2}+4y +8$的最小值.
解:$y^{2}+4y +8= y^{2}+4y +4 +4= (y +2)^{2}+4$.因为$(y +2)^{2}\geq0$,所以$(y +2)^{2}+4\geq4$,所以$y^{2}+4y +8$ 的最小值足4.
(1)求代数式$m^{2}+m +4$ 的最小值.
(2)求代数式$4 -x^{2}+2x$的最大值.
(3)某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15 m)的空地上建一个长方形花园$ABCD$,花园一边靠墙,另外三边用总长为20 m 的栅栏围成.如图,设$AB的长为x$ m,请问:当$x$取何值时,花园的面积最大?最大面积是多少?
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答案：
(1)$m^{2}+m+4=(m+\frac{1}{2})^{2}+\frac{15}{4}$.因为$(m+\frac{1}{2})^{2}\geq0$,所以$(m+\frac{1}{2})^{2}+\frac{15}{4}\geq\frac{15}{4}$,所以$m^{2}+m+4$的最小值是$\frac{15}{4}$;
(2)$4-x^{2}+2x=-(x-1)^{2}+5$.因为$-(x-1)^{2}\leq0$,所以$-(x-1)^{2}+5\leq5$,所以$4-x^{2}+2x$的最大值为5;
(3)由题意,得花园的面积是$x(20-2x)=-2x^{2}+20x$.因为$-2x^{2}+20x=-2(x-5)^{2}+50$,且$-2(x-5)^{2}+50\leq50$,所以$-2x^{2}+20x$的最大值是50.此时$x=5$,即当$x=5$时,花园的面积最大,最大面积是$50m^{2}$