《2025年小题狂做九年级数学上册苏科版提优版》

1. 已知关于x的一元二次方程$ax^2+bx+c= 0(a≠0).$若9a+3b+c= 0,则该方程一定有一个根为 (B)
A.-3
B.3
C.±3
D.不能确定

答案： B

2. 已知$(m-3)x^m^2-7+2024x-2024= 0$是关于x的一元二次方程,则m的值为 (C)
A.3
B.0
C.-3
D.±3

答案： C

3. 若关于x的一元二次方程$ax^2+bx= c(ac≠0)$有一个实数根为2024,则关于x的方程$cx^2+bx= a$一定有一个实数根为 (D)
A.2024
B.1/2024
C.-2024
D.-1/2024

答案： D 提示:由条件,得a×2024²+2024b=c.两边同时除以2024²,得a+$\frac{1}{2024}$b=$(\frac{1}{2024})^2$c,即$(\frac{1}{2024})^2$c-$\frac{1}{2024}$b=a,即c$(-\frac{1}{2024})^2$+b$(-\frac{1}{2024})$=a.所以关于x的方程cx²+bx=a一定有一个实数根为-$\frac{1}{2024}$.

4. 如图,某小区在一块长16m、宽9m的矩形空地上新修三条宽度相同的小路,其中一条和矩形的一边平行,另外两条和矩形的另一边平行,空地剩下的部分种植花草,使得花草区域占地面积为$120m^2.$设小路的宽度为x m,现给出下列方程：①(16-2x)(9-x)= 120；②16×9-9×2x-(16-2x)x= 120；$③16×9-9×2x-16x+x^2= 120.$其中正确的是 (C)

A.①
B.②
C.①②
D.①②③

答案： C

5. 若m是方程$x^2+x-1= 0$的一个根,则代数式$m^3+2m^2-7$的值是-6.

答案： -6 提示:由题意,得m²+m=1,所以m³+2m²-7=m³+m²+m²-7=m(m²+m)+m²-7=-6.

6. 关于x的一元二次方程$a_1(x-m)^2+k= 0$与$a_2(x-m)^2+k= 0$称为“同族二次方程”.例如：$2(x-3)^2+4= 0$与$3(x-3)^2+4= 0$是“同族二次方程”.现有关于x的一元二次方程$2(x-1)^2+1= 0$与$(a+2)x^2+(b-4)·x+8= 0$是“同族二次方程”,那么代数式ab的值为______-50.

答案： -50 提示:由题意,易得(a+2)x²+(b-4)x+8=(a+2)(x-1)²+1,即(a+2)x²+(b-4)x+8=(a+2)x²-2(a+2)x+a+3,所以$\begin{cases}-2(a+2)=b-4,\\a+3=8,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=5,\\b=-10.\end{cases}$所以ab=-50.

7. 在一元二次方程$x^2-2ax+b= 0$中,若$a^2-b＞0,$则称a是该方程的中点值.
(1)方程$x^2-10x+1= 0$的中点值是多少？
(2)已知方程$x^2-mx+n= 0$的中点值是3,且其中一个根是1,求mn的值.

答案： 解:
(1)由题意,得2a=10,解得a=5.又因为5²-1=24＞0,所以方程x²-10x+1=0的中点值是5.
(2)由题意,得$\frac{1}{2}$m=3,解得m=6,所以方程为x²-6x+n=0.把x=1代入,得n=5.经检验,3²-5=4＞0,所以m=6,n=5符合题意,所以mn=30.