《2025年小题狂做九年级数学上册苏科版提优版》

1. 小刚在解关于x的方程$ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)$时,只抄对了$a= 1,b= 4$,解出其中一个根是$x= -1$.他核对时发现所抄的c的值比原方程的c值小2,则原方程(A)
A.不存在实数根
B.有两个不相等的实数根
C.有一个根是$x= -1$
D.有两个相等的实数根

答案： A

2. 已知关于x的一元二次方程$x^{2}+2x+a-1= 0的两个根分别为x_{1}和x_{2}$,且$x_{1}^{2}-x_{1}x_{2}= 0$,则a的值是(D)
A.1
B.1或-2
C.2
D.1或2

答案： D

3. 已知关于x的方程$(a+3)x= 10$有正整数解,且关于y的一元二次方程$y^{2}-3y+a-1= 0$有两个实数根,则所有符合条件的整数a有(B)
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个

答案： B 提示:解关于x的方程$(a+3)x=10$,得$x=\frac{10}{a+3}$.因为该方程有正整数解,所以整数a的值为-2,-1,2,7.因为关于y的一元二次方程$y^{2}-3y+a-1=0$有两个实数根,所以$(-3)^{2}-4(a-1)\geq0$,解得$a\leq\frac{13}{4}$.所以符合条件的整数a的值为-2,-1,2,共3个.

4. 对于函数$y= x^{n}+x^{m}$,我们定义$y'= nx^{n-1}+mx^{m-1}$(m,n为常数).例如:$y= x^{4}+x^{2}$,则$y'= 4x^{3}+2x$.已知$y= \frac{1}{3}x^{3}+(m-1)x^{2}+m^{2}x$,若方程$y'= 0$有两个相等的实数根,则m的值为$\frac{1}{2}$.

答案： $\frac{1}{2}$

5. 已知关于x的一元二次方程$x^{2}-2\sqrt{2}mx+m^{2}+m-1+k= 0$(m,k为常数)有两个相等的实数根,则k的取值范围是$k\geq\frac{3}{4}$.

答案： $k\geq\frac{3}{4}$ 提示:因为关于x的一元二次方程$x^{2}-2\sqrt{2}mx+m^{2}+m-1+k=0$有两个相等的实数根,所以$(-2\sqrt{2}m)^{2}-4(m^{2}+m-1+k)=0$,所以$m^{2}-m+1-k=0$,因为$m^{2}-m+1-k=0$有解,所以$(-1)^{2}-4(1-k)\geq0$,所以$k\geq\frac{3}{4}$.

6. (2024 盐城市东台市期中)关于x的一元二次方程$x^{2}-x-(m+2)= 0$有两个不相等的实数根.
(1)求m的取值范围.
(2)若m为符合条件的最小整数,求此方程的根.

答案：
(1)因为关于x的方程$x^{2}-x-(m+2)=0$有两个不相等的实数根,所以$1+4(m+2)=9+4m＞0$,解得$m＞-\frac{9}{4}$.
(2)因为m为符合条件的最小整数,所以$m=-2$.此时原方程为$x^{2}-x=0$,解得$x_{1}=0$,$x_{2}=1$.

7. 已知关于x的一元二次方程$x^{2}-(2k+1)x+4(k-\frac{1}{2})= 0$.
(1)求证:这个方程总有两个实数根.
(2)若等腰三角形ABC的一边长$a= 4$,另两边长b,c恰好是这个方程的两个实数根,求等腰三角形ABC的周长.

答案：
(1)证明:因为$[-(2k+1)]^{2}-4×1×4(k-\frac{1}{2})=4k^{2}-12k+9=(2k-3)^{2}\geq0$,所以这个方程总有两个实数根.
(2)解:①$a=4$为腰长时,b,c中必有一个与a相等.不妨设$b=a=4$,则$4^{2}-4(2k+1)+4(k-\frac{1}{2})=0$,解得$k=\frac{5}{2}$.当$k=\frac{5}{2}$时,原方程为$x^{2}-6x+8=0$,解得$x_{1}=4$,$x_{2}=2$.所以$c=2$.所以等腰三角形ABC的周长为$a+b+c=4+4+2=10$.
②$a=4$为底边长时,$b=c$,所以$(2k-3)^{2}=0$,解得$k=\frac{3}{2}$.当$k=\frac{3}{2}$时,原方程为$x^{2}-4x+4=0$,解得$x_{1}=x_{2}=2$,即$b=c=2$.因为$b+c=4=a$,所以不符合三角形的三边关系定理,应舍去.
综上所述,等腰三角形ABC的周长为10.

8. (2024 无锡市宜兴市期中)已知关于x的一元二次方程$(k-1)x^{2}-2kx+k= 0$有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围.
(2)若整数$k＜5$,且两个实数根中有一个根是整数,求k的值.

答案：
(1)因为关于x的一元二次方程$(k-1)x^{2}-2kx+k=0$有两个不相等的实数根,所以$(-2k)^{2}-4\cdot(k-1)\cdot k＞0$且$k-1≠0$,解得$k＞0$且$k≠1$.
(2)由
(1)得$k＞0$且$k≠1$.又因为$k＜5$,且k为整数,所以$k=2$或$k=3$或$k=4$.
当$k=2$时,原方程为$x^{2}-4x+2=0$,此方程的两根都不是整数,故不符合题意.
当$k=3$时,原方程为$2x^{2}-6x+3=0$,此方程的两根都不是整数,故不符合题意.
当$k=4$时,原方程为$3x^{2}-8x+4=0$,此方程的两根为2和$\frac{2}{3}$,故符合题意,所以k的值为4.