《2025年小题狂做九年级数学上册苏科版提优版》

1. 如图,在矩形ABCD中,G是BC的中点,过A,D,G三点的⊙O与边AB,CD分别交于点E,F,现有下列说法:①AC与BD的交点是⊙O的圆心;②AF与DE的交点是⊙O的圆心;③BC与⊙O相切.其中正确说法的个数是(C)
A.0
B.1
C.2
D.3

答案： C 提示:连接AF,DE.因为四边形ABCD为矩形,所以AB=CD,AD//BC,∠A=∠B=∠C=∠D=90°.所以AF,DE均为直径,且其交点为圆心O,故①错误,②正确.连接AG,DG,OG.因为BG=CG,AB=CD,∠B=∠C=90°,所以△ABG≌△DCG,所以AG=DG,因为OA=OD,所以OG垂直平分AD.因为AD//BC,所以OG⊥BC,所以BC与⊙O相切,故③正确.

2. 如图,在矩形ABCD中,AB= 10,BC= 8,以CD为直径作⊙O.将矩形ABCD绕点C旋转,使所得矩形A'B'CD'的边A'B'与⊙O相切,切点为E,则A'E的长为(B)
A.5
B.6
C.7
D.8

答案： B 提示:如图,连接OE,作OH⊥B'C于点H,则∠OEB'=∠OHB'=90°.由旋转的性质,得∠B'=∠B'CD'=90°,AB=CD=10,BC=B'C=8,所以四边形OEB'H是矩形,OE=OD=OC=5.所以B'H=OE=5,所以CH=B'C - B'H=3.在Rt△OHC中,由勾股定理,得$OH = \sqrt{OC^2 - CH^2} = 4$,所以B'E=OH=4,则A'E=A'B' - B'E=10 - 4=6.

3. 如图,P为⊙O的直径BA延长线上的一点,PC与⊙O相切于点C,D是⊙O上一点,连接PD.已知PC= PD= BC.现有下列结论:①PD与⊙O相切;②四边形PCBD是菱形;③PO= AB;④∠PDB= 120°.其中正确的个数为(A)

A.4
B.3
C.2
D.1

答案： A 提示:连接CO,DO.因为PC与⊙O相切于点C,所以∠PCO=90°.易证△PCO≌△PDO(SSS),所以∠PCO=∠PDO=90°,所以PD与⊙O相切,故①正确.由①,得∠CPB=∠DPB.易证△CPB≌△DPB(SAS),所以BC=BD,所以PC=PD=BC=BD,所以四边形PCBD是菱形,故②正确.连接AC.因为PC=CB,所以∠CPB=∠CBP.因为AB是⊙O的直径,所以∠ACB=90°.由∠PCO=∠BCA=90°,易证△PCO≌△BCA(ASA),所以PO=AB,故③正确.因为PC=BC,OB=OC,所以∠BPC=∠PBC=∠OCB.因为∠BPC+∠PCB+∠PBC=180°,所以3∠BPC+∠PCO=180°,所以∠BPC=30°.所以∠PCB=180° - ∠BPC - ∠PBC=120°.所以∠PDB=∠PCB=120°,故④正确.

4. 如图,在平面直角坐标系xOy中,以点A(√2,0)为圆心,1为半径画圆.将⊙A绕点O逆时针旋转α(0°＜α＜180°)得到⊙A',使得⊙A'与y轴相切,则α的度数是______45°或135°.

答案： 45°或135° 提示:若点A'在第一象限,如图1,设⊙A'与y轴相切于点B,连接OA',BA',则OB⊥A'B,所以∠A'BO=90°.因为⊙A的半径为1,点A($\sqrt{2}$,0),所以OA=$\sqrt{2}$.由旋转,得OA'=OA=$\sqrt{2}$,A'B=1,所以$OB = \sqrt{OA'^2 - A'B^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = 1$,所以A'B=OB,所以∠BOA'=∠BA'O=45°,所以α=∠AOA'=∠AOB - ∠BOA'=45°.若点A'在第二象限,如图2,设⊙A'与y轴相切于点C,连接OA',CA',则OC⊥A'C,所以∠A'CO=90°.因为OA'=OA=$\sqrt{2}$,AC=1,所以$OC = \sqrt{OA'^2 - A'C^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = 1$,所以A'C=OC,所以∠COA'=∠CA'O=45°,所以α=∠AOA'=∠AOC+∠COA'=135°.

5. 如图,在平面直角坐标系中,点A(0,2√3),动点B,C从原点O同时出发,分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动,以点A为圆心,OB的长为半径画圆;以BC为一边,在x轴上方作等边三角形BCD.设运动的时间为t s,当⊙A与△BCD的边BD所在直线相切时,t的值为$4\sqrt{3}+6$.

答案： $4\sqrt{3}+6$ 提示:如图,过点A作AH⊥BD,交BD所在直线于点H,延长DB交y轴于点E.当⊙A与直线BD相切时,AH=OB=t.因为△BCD为等边三角形,所以∠DBC=60°,所以∠OBE=60°,所以∠OEB=180° - ∠BOE - ∠OBE=30°.在Rt△OBE中,$OE = \sqrt{3}OB = \sqrt{3}t$.在Rt△AHE中,AE=2AH=2t.因为点A(0,$2\sqrt{3}$),所以OA=$2\sqrt{3}$,因为OA+OE=AE,即$2\sqrt{3}+\sqrt{3}t = 2t$,所以$t = 4\sqrt{3}+6$.

6.(2024盐城市阜宁县期中)如图,⊙O是Rt△ABC的外接圆,直径AC= 4,过点C作⊙O的切线,与AB延长线交于点D,M为CD的中点,连接BM,OM,且BC与OM相交于点N.
(1)求证:BM与⊙O相切;
(2)当∠A= 60°时,在⊙O的圆上取点F,使∠ABF= 15°,补全图形,并求点F到直线AB的距离.

答案：
(1) 证明:如图1,连接OB.因为AC是⊙O的直径,所以∠ABC=∠DBC=90°.因为M为CD的中点,所以$BM = \frac{1}{2}CD = MC$.因为OB=OC,OM=OM,所以△OBM≌△OCM,所以∠OBM=∠OCM.因为NC是⊙O的切线,所以∠OCM=90°,所以∠OBM=90°,又因为OB是⊙O的半径,所以BM与⊙O相切;
(2) 解:如图2,当点F在$\widehat{AB}$上时,连接OF₁,交AB于点G.因为∠F₁BA=15°,所以∠AOF₁=30°.因为∠BAC=60°,所以∠AGO=90°,所以OF₁⊥AB.因为直径AC=4,所以AO=2,所以$AG = \frac{1}{2}AO = 1$,所以$OG = \sqrt{3}$,所以$F₁G = 2 - \sqrt{3}$.当点F在$\widehat{ACB}$上时,过点F₂作F₂H⊥AB于点H,F₂N⊥OG于点N,所以四边形F₂HGN是矩形.在Rt△F₂NO中,OF₂=2,因为∠ABF₁=∠ABF₂=15°,所以∠AOF₁=2∠ABF₁=30°,∠AOF₂=2∠ABF₂=30°,所以∠F₂ON=∠AOF₂+∠AOF₁=60°,所以∠OF₂N=30°,所以ON=1,所以F₂H=GN=OG - ON=$\sqrt{3}-1$.综上所述,点F到直线AB的距离为$2 - \sqrt{3}$或$\sqrt{3}-1$.