《2025年小题狂做九年级数学上册苏科版提优版》

1. 已知,实数$x_{1},x_{2}(x_{1}≠x_{2})$是关于x的方程$kx^{2}+2kx+1= 0(k≠0)$的两个根.若$\frac {1}{x_{1}}+\frac {1}{x_{2}}= 2$,则k的值为(B)
A.1
B.-1
C.$\frac {1}{2}$
D.$-\frac {1}{2}$

答案： B

2. 已知关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+1= 0的两个根为x_{1}= 1,x_{2}= 2$,则关于x的一元二次方程$a(x+1)^{2}+b(x+1)+1= 0$的两根之和为(A)
A.1
B.2
C.-1
D.-2

答案： A

3. (2024 南京市建邺区期中)已知m,n,s,t为互不相等的实数,且$(m+s)(m+t)= 2$,$(n+s)(n+t)= 2$,则$mn-st$的值为(A)
A.-2
B.0
C.$\frac {1}{2}$
D.2

答案： A 提示:因为$(m+s)(m+t)=2$,(n+s)(n+t)=2,所以$m^{2}+m(s+t)+st-2=0$,$n^{2}+n(s+t)+st-2=0$.因为m,n,s,t为互不相等的实数,所以m和n可以看作方程$x^{2}+(s+t)x+st-2=0$的两个根,所以$mn=\frac{c}{a}=\frac{st-2}{1}=st-2$,所以$mn-st=-2$

4. 若m,n是一元二次方程$x^{2}+3x-1= 0$的两个实数根,则$\frac {m^{3}+m^{2}n}{3m-1}$的值为3.

答案： 3 提示:因为m是一元二次方程$x^{2}+3x-1=0$的根,所以$m^{2}+3m-1=0$,所以$3m-1=-m^{2}$.因为m,n是一元二次方程$x^{2}+3x-1=0$的两个根,所以$m+n=-3$.所以$\frac{m^{3}+m^{2}n}{3m-1}=\frac{m^{2}(m+n)}{-m^{2}}=-(m+n)=3$

5. (2024 德州市中考)已知a和b是一元二次方程$x^{2}+2024x-4= 0$的两个解,则$a^{2}+2023a-b$的值为______2028.

答案： 2028 提示:因为a和b是方程$x^{2}+2024x-4=0$的两个解,所以$a^{2}+2024a-4=0$,$a+b=-2024$,所以$a^{2}+2024a=4$,所以$a^{2}+2023a-b=a^{2}+2024a-a-b=4-(a+b)=4-(-2024)=2028$

6. (2024 南京市联合体期中)定义：设$x_{1},x_{2}是方程ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)$的两个实数根,若满足$|x_{1}+x_{2}|= |x_{1}x_{2}|$,则称此类方程为“和谐方程”.例如：方程$x^{2}= 0$是“和谐方程”.
(1)下列方程是“和谐方程”的是______.
①$x^{2}-x= 0$；
②$x^{2}-4x+4= 0$；
③$(x+1)(x-\frac {1}{2})= 0$.
②③(2)若方程$x^{2}-(m+2)x+2m= 0$是“和谐方程”,求m的值.
$m=2$或$m=-\frac{2}{3}$(3)若方程$ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)$为“和谐方程”,求b,c满足的数量关系.
$b^{2}=c^{2}$（或$b=\pm c$）

答案：
(1)②③；
(2)$m=2$或$m=-\frac{2}{3}$；
(3)$b^{2}=c^{2}$（或$b=\pm c$）

7. 已知关于x的方程$(x-2)(x-3)-k^{2}= 0$.
(1)求证：无论k取何值,方程总有两个不相等的实数根.
(2)设方程的两个根分别为$x_{1},x_{2}$,且$x_{1}＞x_{2}$,求证：$x_{1}+2x_{2}≤7$.

答案：
(1)原方程可整理为$x^{2}-5x+6-k^{2}=0$,所以根的判别式为$(-5)^{2}-4× 1×(6-k^{2})=25-24+4k^{2}=1+4k^{2}$.因为无论k取何值,总有$4k^{2}\geq0$,所以$1+4k^{2}＞0$,所以无论k取何值,方程总有两个不相等的实数根.；
(2)由条件,得$x_{1}+x_{2}=5$.所以$x_{1}+2x_{2}=x_{1}+x_{2}+x_{2}=5+x_{2}$.因为$x_{1}＞x_{2}$,所以$x_{2}=\frac{5-\sqrt{4k^{2}+1}}{2}$.因为$1+4k^{2}\geq1$,所以$\sqrt{4k^{2}+1}\geq1$,所以$\frac{5-\sqrt{4k^{2}+1}}{2}\leq2$,即$x_{2}\leq2$.所以$5+x_{2}\leq7$,所以$x_{1}+2x_{2}\leq7$

8. 已知$\alpha ,\beta (\alpha ＞\beta )是一元二次方程x^{2}-x-1= 0$的两个实数根,设$s_{1}= \alpha +\beta ,s_{2}= \alpha ^{2}+\beta ^{2},… ,s_{n}= \alpha ^{n}+\beta ^{n}$.根据根的定义,有$\alpha ^{2}-\alpha -1= 0,\beta ^{2}-\beta -1= 0$,将两式相加,得$(\alpha ^{2}+\beta ^{2})-(\alpha +\beta )-2= 0$,于是,得$s_{2}-s_{1}-2= 0$.请根据以上信息,解答下列问题：
(1)利用配方法求$\alpha ,\beta$的值,并利用一元二次方程的根与系数的关系直接写出$s_{1},s_{2}$的值.
(2)当$n≥3$时,试猜想$s_{n},s_{n-1},s_{n-2}$之间满足的数量关系,并证明你的猜想.

答案：
(1)$\alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$,$\beta=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$；$s_{1}=1$,$s_{2}=3$；
(2)猜想:$s_{n}=s_{n-1}+s_{n-2}(n\geq3)$；证明如下:根据根的定义,得$\alpha^{2}-\alpha-1=0$.当$n\geq3$时,两边同时乘$\alpha^{n-2}$,得$\alpha^{n}-\alpha^{n-1}-\alpha^{n-2}=0$①.同理,可得$\beta^{n}-\beta^{n-1}-\beta^{n-2}=0$②.由①+②,得$(\alpha^{n}+\beta^{n})-(\alpha^{n-1}+\beta^{n-1})-(\alpha^{n-2}+\beta^{n-2})=0$.因为$s_{n}=\alpha^{n}+\beta^{n}$,$s_{n-1}=\alpha^{n-1}+\beta^{n-1}$,$s_{n-2}=\alpha^{n-2}+\beta^{n-2}$,所以$s_{n}-s_{n-1}-s_{n-2}=0$,即$s_{n}=s_{n-1}+s_{n-2}$