《2025年小题狂做九年级数学上册苏科版提优版》

1. 方程$4(2x-1)^{2}-25(x+1)^{2}= 0$的解为 (B)
A.$x_{1}= x_{2}= -7$
B.$x_{1}= -7$,$x_{2}= -\frac{1}{3}$
C.$x_{1}= \frac{1}{3}$,$x_{2}= 7$
D.$x_{1}= -7$,$x_{2}= \frac{1}{3}$

答案： B

2. 已知三角形的两边长分别为4和6,第三边的长是方程$(x-3)^{2}= 4$的根,则此三角形的周长为 (C)
A.17
B.11
C.15
D.11或15

答案： C

3. 如果$(a^{2}+b^{2}+1)(a^{2}+b^{2}-1)= 63$,那么$a^{2}+b^{2}$的值为8.

答案： 8

4. (2024 广州市中考)定义新运算：$a\otimes b= \left\{\begin{array}{l} a^{2}-b(a\leqslant0),\\ -a+b(a＞0).\end{array} \right.$例如：$(-2)\otimes 4= (-2)^{2}-4= 0$,$2\otimes 3= -2+3= 1$.若$x\otimes 1= -\frac{3}{4}$,则x的值为$-\frac{1}{2}$或$\frac{7}{4}$.

答案： $-\frac{1}{2}$或$\frac{7}{4}$

5. 对于实数m,n,我们用符号$\min\{m,n\}$表示m,n两数中较小的数.例如：$\min\{1,2\}= 1$.若$\min\{x^{2}-1,2x^{2}\}= 2$,则$x= $$\pm \sqrt{3}$.

答案： $\pm \sqrt{3}$ 提示:因为$x^{2}-1-2x^{2}=-x^{2}-1＜0$,所以$\min\{x^{2}-1,2x^{2}\}=x^{2}-1=2$.所以$x^{2}=3$.直接开平方,得$x_{1}=\sqrt{3},x_{2}=-\sqrt{3}$.

6. 用直接开平方法解下列方程：
(1)$x^{2}+4x+4= 1$；
(2)$(2x-1)^{2}= (x-2)^{2}$.

答案：
(1)原方程可化为$(x+2)^{2}=1$.直接开平方,得$x+2=\pm 1$,即$x+2=1$或$x+2=-1$,所以$x_{1}=-1,x_{2}=-3$.
(2)直接开平方,得$2x-1=\pm (x-2)$,所以$2x-1=x-2$或$2x-1=-x+2$,所以$x_{1}=-1,x_{2}=1$.

7. 如果方程$2x^{2}-18= 0与方程-3x^{2}-m= 0$的解相同,求m的值.

答案： 解:将方程$2x^{2}-18=0$整理,得$x^{2}=9$.代入$-3x^{2}-m=0$,得$-27-m=0$,解得$m=-27$.

8. 小明在解一元二次方程时,发现有这样一种解法：
例如：解方程$x(x+4)= 6$.
解：原方程可变形,得$[(x+2)-2][(x+2)+2]= 6$.
$(x+2)^{2}-2^{2}= 6$,
$(x+2)^{2}= 6+2^{2}$,
$(x+2)^{2}= 10$.
直接开平方并整理,得$x_{1}= -2+\sqrt{10}$,$x_{2}= -2-\sqrt{10}$.
我们称小明这种解法为“平均数法”.
(1)下面是小明用“平均数法”解方程$(x+3)(x+7)= 5$时写的解题过程.
解：原方程可变形,得$[(x+a)-b]\cdot[(x+a)+b]= 5$.
$(x+a)^{2}-b^{2}= 5$,
$(x+a)^{2}= 5+b^{2}$.
直接开平方并整理,得$x_{1}= c$,$x_{2}= d$.
上述过程中的a,b,c,d表示的数分别为5,2,-2,-8.
(2)请用“平均数法”解方程：$(x-5)(x+3)= 6$.
原方程可变形,得$[(x-1)-4][(x-1)+4]=6$.$(x-1)^{2}-4^{2}=6$,$(x-1)^{2}=22$.所以$x_{1}=1+\sqrt{22},x_{2}=1-\sqrt{22}$.

答案：
(1)5 2 -2 -8
(2)原方程可变形,得$[(x-1)-4][(x-1)+4]=6$.$(x-1)^{2}-4^{2}=6$,$(x-1)^{2}=22$.所以$x_{1}=1+\sqrt{22},x_{2}=1-\sqrt{22}$.