《2025年小题狂做九年级数学上册苏科版提优版》

1. (2024 山西省中考)如图,已知△ABC,以AB 为直径的⊙O 交 BC 于点 D,与 AC 相切于点 A,连接 OD. 若∠AOD= 80°,则∠C 的度数为(D)

A.30°
B.40°
C.45°
D.50°

答案： D

2. (2024 福建省中考)如图,已知点 A,B 在⊙O 上,∠AOB= 72°,直线 MN 与⊙O 相切,切点为 C,且 C 为$\overset{\frown}{AB}$的中点,则∠ACM 的度数为(A)

A.18°
B.30°
C.36°
D.72°

答案： A

3. 如图,BC 为⊙O 的直径,弦 AD⊥BC 于点 E,直线 l 切⊙O 于点 C,延长 OD 交 l 于点 F. 若 AE= 2,∠ABC= 22.5°,则 CF的长为(B)
A.2
B.$2\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{3}$
D.4

答案： B

4. 如图,在矩形 ABCD 中,AB= 8,AD= 12,过 A,D 两点的⊙O 与边 BC 相切于点 E,则⊙O 的半径为(D)
A.5
B.5.25
C.6
D.6.25

答案： D 提示:连接 EO 并延长,交 AD 于点 F,连接 OA.因为 BC 是$\odot O$的切线,所以$OE⊥BC$,所以$∠OEC=90^{\circ }$.因为四边形 ABCD 是矩形,所以$∠C=∠D=90^{\circ }$,所以四边形 CDFE 是矩形,所以$EF=CD=AB=8,OF⊥AD$,所以$AF=\frac {1}{2}AD=6$.设$\odot O$的半径为x,则$OF=EF - OE=8 - x$.在$Rt△OAF$中,由勾股定理,得$OF^{2}+AF^{2}=OA^{2}$,即$(8 - x)^{2}+6^{2}=x^{2}$,解得$x = 6.25$.所以$\odot O$的半径为 6.25.

5. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,直线 AB经过点 A(4,0),B(0,4),⊙O 的半径为2(O 为坐标原点),P 是直线 AB 上的一动点,过点 P 作⊙O 的一条切线 PQ,Q 为切点,则线段 PQ 长的最小值为(C)
A.$\sqrt{7}$
B.$2\sqrt{2}-1$
C.2
D.$3\sqrt{2}$

答案： C 提示:连接 OP,OQ.因为点$A(4,0),B(0,4)$,所以$OA = OB = 4$,因为$∠AOB = 90^{\circ }$,所以$△AOB$为等腰直角三角形,所以$AB = \sqrt{OA^{2}+OB^{2}} = 4\sqrt{2}$.因为 PQ 是$\odot O$的切线,所以$OQ⊥PQ$.在$Rt△OPQ$中,由勾股定理,得$PQ = \sqrt{OP^{2}-OQ^{2}} = \sqrt{OP^{2}-4}$,所以当 OP 的长最小时,PQ 的长最小,由题意可知,当$OP⊥AB$时,OP 的长最小,此时易求$OP = \frac{1}{2}AB = 2\sqrt{2},PQ = \sqrt{OP^{2}-4} = 2$.所以线段 PQ 长的最小值为 2.

6. (2024 徐州市中考)如图,AB 是⊙O 的直径,点 C 在 AB 的延长线上,CD 与⊙O 相切于点 D,若∠C= 20°,则∠CAD= 35°.

答案： 35

7. 如图是某个球放进盒子内的截面图,球的一部分露出盒子外. 已知⊙O 交矩形 ABCD 的边 AD 于点 E,F,AB= EF= 2,则球的半径为______$\frac{5}{4}$.

答案： $\frac{5}{4}$

8. 如图,直线 AB 与⊙O 相切于点 A,AC,CD 是⊙O 的两条弦,且 CD//AB. 若⊙O 的半径为 2.5,CD= 4,则弦 AC 的长为______$2\sqrt{5}$.

答案： $2\sqrt{5}$ 提示:连接 AO 并延长,交 CD 于点 E,连接 OC.因为 AB 与$\odot O$相切,所以$OA⊥AB$.因为$CD// AB$,所以$OA⊥CD$,所以$CE = DE = 2$.在$Rt△OEC$中,由勾股定理,得$OE = \sqrt{OC^{2}-CE^{2}} = \frac{3}{2}$,所以$AE = OE + OA = 4$.在$Rt△AEC$中,由勾股定理,得$AC = \sqrt{AE^{2}+CE^{2}} = 2\sqrt{5}$.

1. 如图,⊙O 的半径为 2,点 O 到直线 l 的距离为 3,P 是直线 l 上的一个动点,PB 切⊙O 于点 B,则 PB 的最小值是(B)

A.$\sqrt{13}$
B.$\sqrt{5}$
C.3
D.2

答案： B