《2025年小题狂做九年级数学上册苏科版提优版》

2. 如图,若输出的结果为5,则m= 1或2.

答案： 1或2

3. 已知 $x^{2}+xy-2y^{2}= 0(y\neq 0)$,则 $\frac {x}{y}= $1或-2.

答案： 1或-2

4. 如果在实数范围内定义一种运算“*”,使 $a*b= (a+1)^{2}-ab$,那么方程 $(x+2)*5= 0$ 的解为x₁=-1+√5/2,x₂=-1-√5/2.

答案： x₁=-1+√5/2,x₂=-1-√5/2

5. 如果关于x的方程 $x^{2}+2(a+1)x+2a+1= 0$ 有一个小于1的正数根,那么实数a的取值范围是-1＜a＜-1/2.

答案： -1＜a＜-1/2 提示:根据方程的求根公式可得,x=-2(a+1)±2a/2,所以x₁=-2a-1,x₂=-1.因为有一个小于1的正数根,所以0＜-2a-1＜1,解得-1＜a＜-1/2.

6. 【探究与应用】
公式法是解一元二次方程常用的方法之一,应用比较广泛,能适用于解所有的一元二次方程.
【观察与分析】
小张在解方程 $x^{2}-6x= 7$ 时,他的解答过程如下：
解：因为 $a= 1,b= -6,c= 7$,(第一步)
所以 $b^{2}-4ac= (-6)^{2}-4×1×7= 8＞0$.(第二步)
所以方程有两个不相等的实数根,$x= \frac {6\pm \sqrt {8}}{2}= \frac {6\pm 2\sqrt {2}}{2}= 3\pm \sqrt {2}$.(第三步)
所以 $x_{1}= 3+\sqrt {2},x_{2}= 3-\sqrt {2}$.(第四步)
【思考与应用】
(1)小张的解答过程是否正确？
(2)如果你认为正确,请你用另一种方法来解这个方程,看看得到的结果是否一致；如果你认为不正确,请指出小张从第几步开始出错,并用小张的方法重新解方程.

答案：
(1)小张的解答过程不正确.
(2)小张从第一步开始出错.方程化为x²-6x-7=0.因为a=1,b=-6,c=-7,所以b²-4ac=(-6)²-4×1×(-7)=64＞0,所以方程有两个不相等的实数根,x=6±√64/2×1=3±4,所以x₁=7,x₂=-1.

7. 先阅读下列材料,然后回答问题：
在一元二次方程 $ax^{2}+bx+c= 0(a\neq 0)$ 中,若各项的系数之和为零,即 $a+b+c= 0$,则有一个根为1,另一个根为 $\frac {c}{a}$.
证明：设方程的两个根为 $x_{1},x_{2}$.
由 $a+b+c= 0$,
可知 $b= -(a+c)$.
因为 $x= \frac {-b\pm \sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}$
$=\frac {(a+c)\pm \sqrt {(a+c)^{2}-4ac}}{2a}$
$=\frac {(a+c)\pm (a-c)}{2a}$,
所以 $x_{1}= 1,x_{2}= \frac {c}{a}$.
(1)若一元二次方程 $ax^{2}+bx+c= 0(a\neq 0)$ 的各项的系数满足 $a-b+c= 0$,则两个根有什么规律？试说明你的结论.
(2)已知方程 $(ac-bc)x^{2}+(bc-ab)x+(ab-ac)= 0(abc\neq 0)$ 有两个相等的实数根,运用上述结论证明：$\frac {2}{b}= \frac {1}{a}+\frac {1}{c}$.

答案：
(1)解:若一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的各项的系数满足a-b+c=0,则有一个根为-1,另一个根为-c/a.理由如下:设方程的两个根为x₁,x₂.由a-b+c=0,可得b=a+c.因为x=-b±√b²-4ac/2a=-(a+c)±√(a+c)²-4ac/2a=-(a+c)±(a-c)/2a,所以x₁=-1,x₂=-c/a.
(2)证明:因为方程(ac-bc)x²+(bc-ab)x+(ab-ac)=0有两个相等的实数根,又因为ac-bc+bc-ab+ab-ac=0,所以x₁=x₂=1,所以ab-ac/ac-bc=1,即ab+bc=2ac,两边都除以abc,得2/b=1/a+1/c.