《2025年小题狂做九年级数学上册苏科版提优版》

1. 如图,已知AB= AC= AD,∠CBD= 2∠BDC,∠BAC= 44°,则∠CAD的度数为(B)
A.68°
B.88°
C.90°
D.112°

答案： B 提示:因为AB=AC=AD,所以B,C,D三点共圆,且圆心为点A.因为∠BAC=44°,所以∠BDC=22°.所以∠CAD=2∠CBD=4∠BDC=88°.

2. (2024海南省中考)如图,AD是半圆O的直径,点B,C在半圆上,且$\widehat{AB}= \widehat{BC}= \widehat{CD}$,点P在$\widehat{CD}$上,若∠PCB= 130°,则∠PBA等于( )

A.105°
B.100°
C.90°
D.70°

答案：
B 提示:如图，连接OB，OC.因为AD是半圆O 的直径,所以∠AOD=180°,因为AB=BC=CD,所以∠AOB=∠BOC=∠COD=60°.又因为OA=OB=OC,所以△AOB,△BOC均是等边三角形，所以∠ABC=120°,∠BPC=$\frac{1}{2}$∠BOC=30°.又因为∠PCB=130°,所以∠PBC=20°,所以∠PBA=∠ABC - ∠PBC=120° - 20°=100°.

3. (2024广州市中考)如图,在⊙O中,弦AB的长为$4\sqrt{3}$,点C在⊙O上,OC⊥AB,∠ABC= 30°. 已知⊙O所在的平面内有一点P,若OP= 5,则点P与⊙O的位置关系是(C)

A.点P在⊙O上
B.点P在⊙O内
C.点P在⊙O外
D.无法确定

答案： C 提示:设AB与OC交于点D.因为弦AB的长为$4\sqrt{3}$,OC⊥AB,所以AD=BD=$\frac{1}{2}$AB=$2\sqrt{3}$.因为∠ABC=30°,所以∠AOD=60°,所以∠A=30°,所以OA=2OD.设OD=x,则OA=2x,在Rt△AOD中,由勾股定理,得OD²+AD²=OA²,即$x^{2}+(2\sqrt{3})^{2}=(2x)^{2}$,解得x=2(负值已舍),所以OA=2x=4.因为OP=5,所以OP＞OA,所以点P在⊙O外.

4. (2024江西省中考)如图,AB是⊙O的直径,AB= 2,点C在线段AB上运动,过点C的弦DE⊥AB,将$\widehat{DBE}$沿DE翻折交直线AB于点F,当DE的长为正整数时,线段FB的长为______.

答案：
$2-\sqrt{3}$或$2+\sqrt{3}$或2 提示:因为AB为直径,DE为弦,所以DE≤AB,所以当DE的长为正整数时,DE=1或2.当DE=2时,DE为直径,因为DE⊥AB,所以此时点F与点A重合,故FB=2.当DE=1时,若点C在线段OB上,如图1,连接OD,则OD=$\frac{1}{2}$AB=1,因为DE⊥AB,所以DC=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{1}{2}$,所以OC=$\sqrt{OD^{2}-DC^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,所以BC=OB - OC=$\frac{2-\sqrt{3}}{2}$,所以FB=2BC=$2-\sqrt{3}$;若点C在线段OA上,如图2,连接OD,同理可得BC=$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$,所以FB=2BC=$2+\sqrt{3}$.综上所述,线段FB的长为$2-\sqrt{3}$或$2+\sqrt{3}$或2. 　

5. 某数学活动小组在一次活动中,对一个数学问题作如下探究：
【问题发现】如图1,AD,BD为⊙O的两条弦(AD＜BD),C为$\widehat{AB}$的中点,过点C作CE⊥BD,垂足为E. 求证：BE= DE+AD.
【问题探究】小明同学的思路是：如图2,在BE上截取BF= AD,连接CA,CB,CD,CF……
请你按照小明的思路将上述问题的证明过程补充完整.
证明过程补充如下:因为C为$\overset{\frown}{AB}$的中点,所以$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$,所以AC=BC.在△ADC和△BFC中,因为$\left\{\begin{array}{l}AD=BF,\\ \angle DAC=\angle FBC,\\ AC=BC,\end{array}\right.$所以△ADC≌△BFC,所以CD=CF.因为CE⊥BD,所以DE=EF.因为BE=EF+BF,所以BE=DE+AD.
【结论运用】如图3,△ABC是⊙O的内接等边三角形,D是$\widehat{AB}$上一点,连接BD,CD,∠ACD= 45°,过点A作AE⊥CD,垂足为E. 若AB= $4\sqrt{2}$,则△BCD的周长为______.
$4\sqrt{2}+8$
【变式探究】如图4,若将【问题发现】中“C为$\widehat{AB}$的中点”改为“C为优弧AB的中点”,其他条件不变,上述结论“BE= DE+AD”还成立吗？若成立,请说明理由；若不成立,请写出BE,AD,DE之间的新等量关系,并加以证明.
BE=DE+AD不成立,新等量关系为DE=BE+AD.证明如下:在DE上截取DF=AD,连接AC,DC,FC,BC.因为C为优弧AB的中点,所以$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$,所以AC=BC,∠ADC=∠BDC.在△ADC和△FDC中,因为$\left\{\begin{array}{l}AD=FD,\\ \angle ADC=\angle FDC,\\ DC=DC,\end{array}\right.$所以△ADC≌△FDC,所以AC=FC.因为AC=BC,所以FC=BC.因为CE⊥BD,所以BE=EF.因为DE=EF+DF,所以DE=BE+AD.

答案： 解:[问题探究]证明过程补充如下:因为C为$\overset{\frown}{AB}$的中点,所以$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$,所以AC=BC.在△ADC和△BFC中,因为$\left\{\begin{array}{l}AD=BF,\\ \angle DAC=\angle FBC,\\ AC=BC,\end{array}\right.$所以△ADC≌△BFC,所以CD=CF.因为CE⊥BD,所以DE=EF.因为BE=EF+BF,所以BE=DE+AD. [结论运用]$4\sqrt{2}+8$ 提示:因为AE⊥CD,所以∠AEC=90°.又因为∠ACD=45°,所以∠EAC=45°,所以∠ACE=∠EAC,所以AE=CE.因为△ABC为等边三角形,所以BC=AC=AB=$4\sqrt{2}$.因为AE²+CE²=AC²,所以2CE²=$(4\sqrt{2})^{2}$,解得CE=4.由[问题探究]可知,CE=DE+BD=4,所以△BCD的周长为BC+BD+CD=BC+BD+CE+DE=BC+2(DE+BD)=$4\sqrt{2}+8$. [变式探究]BE=DE+AD不成立,新等量关系为DE=BE+AD.证明如下:在DE上截取DF=AD,连接AC,DC,FC,BC.因为C为优弧AB的中点,所以$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$,所以AC=BC,∠ADC=∠BDC.在△ADC和△FDC中,因为$\left\{\begin{array}{l}AD=FD,\\ \angle ADC=\angle FDC,\\ DC=DC,\end{array}\right.$所以△ADC≌△FDC,所以AC=FC.因为AC=BC,所以FC=BC.因为CE⊥BD,所以BE=EF.因为DE=EF+DF,所以DE=BE+AD.