《2025年小题狂做九年级数学上册苏科版提优版》

1. 一个边长为 2 的正多边形的内角和是其外角和的 2 倍,则这个正多边形的外接圆半径是 (A)
A.2
B.$\sqrt{3}$
C.1
D.21

答案： A

2. 如图,A,B,C,D 为一个正多边形的顶点,O 为正多边形的中心. 若$\angle ADB= 20^{\circ}$,则这个正多边形的边数为 (C)
A.7
B.8
C.9
D.10

答案： C

3. 如图,等边三角形 ABC 和正方形 DEFG 均内接于$\odot O$,若$EF= 2$,则 BC 的长为(D)
A.$2\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$\sqrt{5}$
D.$\sqrt{6}$

答案： D 提示:如图,连接OE,OF,OB,OC,过点O作OH⊥BC于点H.因为四边形EFGD是正方形,所以∠EOF=90°.因为OE=OF,且EF=2,所以OE=OF=√2,所以OB=OC=√2.因为△ABC为等边三角形,所以∠BOC=2∠BAC=120°.因为OB=OC,OH⊥BC,所以BH=CH,∠OBH=∠OCH=1/2(180° - ∠BOC)=30°,所以OH=1/2OB=√2/2,所以BH=√(OB² - OH²)=√6/2,所以BC=2BH=√6.

4. 如图,在边长为 2 的正八边形中,把其不相邻的四条边均向两边延长,相交成一个四边形 ABCD,则四边形 ABCD 的周长是 (D)
A.24
B.$12\sqrt{2}$
C.16
D.$8+8\sqrt{2}$

答案： D

5. 如图,正六边形螺帽的边长是$a\ \text{cm}$,这个扳手开口的距离是 3 cm,$a$的值是 (A)
A.$\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
D.1

答案： A

6. 如图,四边形 ABCD 是正方形,以点 B 为圆心,作半径长为 2 的半圆,交 AB 于点 E. 将半圆 B 绕点 E 逆时针旋转,记旋转角为$30^{\circ}$,半圆 B 正好与边 CD 相切,则正方形的边长为 (A)
A.3
B.$2\sqrt{3}$
C.$2+\sqrt{3}$
D.4

答案： A 提示:设半圆B与边CD相切于点F,旋转后圆心B的对应点为O,连接FO并延长交AB于点H.因为CD与⊙O相切,所以FH⊥CD.易证四边形BCFH是矩形,所以FH=BC,∠BHF=∠EHO=90°.由旋转的性质,得OE=OF=BE=2,∠BEO=30°,所以OH=1/2OE=1,所以BC=FH=3,即正方形的边长为3.

7. 如图,正九边形的对角线 AF,CH 相交于点 P,则$\angle CPF= $100°.

答案： 100 提示:因为正九边形每个内角的度数均为1/9×(9 - 2)×180°=140°,所以∠I=140°.由圆内接正多边形的相关性质可知∠IAP=∠IHC=3×1/2×1/9×360°=60°.所以∠CPF=∠APH=360° - (∠IAP + ∠I + ∠IHC)=100°.

8. 我们规定:一个正$n$边形($n$为整数,$n\geq4$)的最短对角线与最长对角线长度的比值叫作这个正$n$边形的“特征值”,记为$\lambda_n$,那么$\lambda_6= $$\frac{\sqrt{3}}{2}$.

答案： 在正六边形$ABCDEF$中，设边长$BC = a(a＞0)$。
最长对角线为正六边形的直径，$BE = 2a$。
最短对角线$EC$，连接$EC$、$BE$，交点为$O$。易知$\triangle OBC$是等边三角形，$\angle OCB=60^\circ$，$OE = OC$，则$\angle OEC=\angle OCE$。
因为$\angle BOC=\angle OEC+\angle OCE = 60^\circ$，所以$\angle OCE=30^\circ$，$\angle BCE=\angle OCB+\angle OCE=90^\circ$，即$\triangle BEC$是直角三角形。
由勾股定理得$EC=\sqrt{BE^2 - BC^2}=\sqrt{(2a)^2 - a^2}=\sqrt{3}a$。
$\lambda_6=\frac{EC}{BE}=\frac{\sqrt{3}a}{2a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\frac{\sqrt{3}}{2}$

9. 如图,在正方形 ABCD 内有一折线段,其中$AE\perp EF$,$EF\perp FC$,并且$AE= 3$,$EF= 4$,$FC= 5$,求正方形 ABCD 的外接圆的半径.

答案： 解:延长AE交圆于点G,连接CG,AC.因为四边形ABCD为正方形,所以∠D=90°,所以AC是该圆的直径,所以∠AGC=90°.因为AE⊥EF,EF⊥FC,所以∠FEG=∠F=∠AGC=90°,所以四边形EFCG是矩形,所以EG=FC=5,CG=EF=4,所以AG=AE + EG=8.由勾股定理,得AC=√(CG² + AG²)=4√5,所以正方形ABCD的外接圆的半径为2√5.