《2025年小题狂做九年级数学上册苏科版提优版》

1. (2024 无锡市宜兴市期中)一元二次方程$x^{2}= x$的解是 (B)
A.$x_{1}= x_{2}= 1$
B.$x_{1}= 1,x_{2}= 0$
C.$x_{1}= x_{2}= 0$
D.$x_{1}= -1,x_{2}= 0$

答案： B

2. 下列方程能用因式分解法解的有 (B)
①$x^{2}-x= 0$;②$x^{2}-x+1= 0$;③$x^{2}-2x+2= 0$;④$(3x+2)^{2}-16= 0.$
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： B

3. 解方程$x^{2}-\sqrt {2}x= 0$,较简便的解法是 (D)
A.直接开平方法
B.配方法
C.公式法
D.因式分解法

答案： D

4. 一元二次方程$x(x-2)= x-2$的解是 (D)
A.$x_{1}= x_{2}= 0$
B.$x_{1}= x_{2}= 1$
C.$x_{1}= 0,x_{2}= 2$
D.$x_{1}= 1,x_{2}= 2$

答案： D

5. 若$(a+b)^{2}-2(a+b)-3= 0$,则$a+b=$3或−1.

答案： 3或−1

6. 若$(x-2)(2x+1)= 0$,则$2x+1$的值为5或0.

答案： 5或0

7. 若实数a,b满足$(a^{2}+b^{2})(a^{2}+b^{2}-2)-8= 0$,则$a^{2}+b^{2}=$4.

答案： 4　提示:设t=a²+b²,则t≥0.由原方程可得t(t−2)−8=0.整理,得(t+2)(t−4)=0,解得t=−2(舍去)或t=4,即a²+b²=4.

8. 已知直角三角形两条边的长是方程$x^{2}-7x+12= 0$的两个根,则这个直角三角形的面积为6或$\frac{3\sqrt{7}}{2}$.

答案： 6或$\frac{3\sqrt{7}}{2}$　提示:解方程x²−7x+12=0,得x=3 或x=4.当3和4同为直角边长时，三角形的面积为$\frac{1}{2}$×3×4=6;当3为直角边长,4为斜边长时,另一条直角边长为$\sqrt{4²−3²}$=$\sqrt{7}$,所以三角形的面积为$\frac{1}{2}$×3×$\sqrt{7}$=$\frac{3\sqrt{7}}{2}$.

9. 若等腰三角形的边长都是方程$x^{2}-10x+21= 0$的解,则这个三角形的周长是9或21或17.

答案： 9或21或17　提示:解方程x²−10x+21=0,得x₁=3,x₂=7.①当等腰三角形的三边长都是3时，其周长为9;②当等腰三角形的三边长都是7时，其周长为21;③当等腰三角形的腰长为3,底边长为7时，因为3+3＜7,不符合三角形的三边关系定理，所以应舍去;④当等腰三角形的腰长为7,底边长为3时，其周长为17.

10. 用因式分解法解下列方程:
(1)$(3x-1)^{2}= 3x-1;$
(2)$(3x+2)^{2}-25x^{2}= 0;$
(3)$(2x+1)^{2}+4(2x+1)+4= 0;$
(4)$2x^{2}+1= 3x.$

答案： $(1)$ 解方程$(3x - 1)^2 = 3x - 1$
解：
将方程移项得$(3x - 1)^2-(3x - 1)=0$，
提取公因式$(3x - 1)$得$(3x - 1)(3x - 1 - 1)=0$，即$(3x - 1)(3x - 2)=0$。
则$3x - 1 = 0$或$3x - 2 = 0$。
当$3x - 1 = 0$时，$3x=1$，解得$x_1=\frac{1}{3}$；
当$3x - 2 = 0$时，$3x = 2$，解得$x_2=\frac{2}{3}$。
$(2)$ 解方程$(3x + 2)^2 - 25x^2 = 0$
解：
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$，其中$a = 3x + 2$，$b = 5x$，
原方程可化为$(3x + 2 + 5x)(3x + 2 - 5x)=0$，即$(8x + 2)(-2x + 2)=0$。
则$8x + 2 = 0$或$-2x + 2 = 0$。
当$8x + 2 = 0$时，$8x=-2$，解得$x_1=-\frac{1}{4}$；
当$-2x + 2 = 0$时，$-2x=-2$，解得$x_2 = 1$。
$(3)$ 解方程$(2x + 1)^2 + 4(2x + 1) + 4 = 0$
解：
根据完全平方公式$(a + b)^2=a^2 + 2ab + b^2$，这里$a = 2x + 1$，$b = 2$，
原方程可化为$(2x + 1 + 2)^2 = 0$，即$(2x + 3)^2 = 0$。
则$2x + 3 = 0$，解得$x_1=x_2=-\frac{3}{2}$。
$(4)$ 解方程$2x^2 + 1 = 3x$
解：
移项得$2x^2-3x + 1 = 0$，
因式分解得$(2x - 1)(x - 1)=0$。
则$2x - 1 = 0$或$x - 1 = 0$。
当$2x - 1 = 0$时，$2x=1$，解得$x_1=\frac{1}{2}$；
当$x - 1 = 0$时，解得$x_2 = 1$。
综上，$(1)$ $x_1=\frac{1}{3}$，$x_2=\frac{2}{3}$；$(2)$ $x_1=-\frac{1}{4}$，$x_2 = 1$；$(3)$ $x_1=x_2=-\frac{3}{2}$；$(4)$ $x_1=\frac{1}{2}$，$x_2 = 1$。

11. (2024 盐城市阜宁县期中)已知关于x的一元二次方程$x^{2}-(2m-1)x+m^{2}-m= 0.$
(1)求证:此方程有两个不相等的实数根.
(2)若方程的两根均大于3,求m的取值范围.

答案：
(1)证明:因为$[-(2m-1)]^{2}-4(m^{2}-m)=4m^{2}-4m+1-4m^{2}+4m=1＞0$,所以此方程有两个不相等的实数根.
(2)解:因为x²-(2m-1)x+m²-m=0,所以(x-m+1)(x-m)=0,所以x₁=m-1,x₂=m.由题意,得$\left\{\begin{array}{l} m-1＞3\\ m＞3\end{array}\right. $,解得m＞4.即m的取值范围是m＞4.

1. 方程$x^{2}+|x-1|-1= 0$的解为 (B)
A.$x_{1}= -2,x_{2}= 1$
B.$x_{1}= 1,x_{2}= 0$
C.$x_{1}= x_{2}= 1$
D.$x_{1}= x_{2}= -2$

答案： B