《2025年小题狂做九年级数学上册苏科版提优版》

2. 已知$□ ABCD$的面积为12,且AB,BC$(AB＜BC)的长是方程x^{2}-10x+24= 0$的两个根.过点A作直线BC的垂线交BC于点E,过点A作直线CD的垂线交CD于点F,则$CE+CF$的值为$2+\sqrt{3}$或$10+5\sqrt{3}$.

答案： 2+$\sqrt{3}$或10+5$\sqrt{3}$　提示:解方程x²−10x+24=0,得x₁=4,x₂=6,所以AB=CD=4,BC=AD=6.①如图1,因为$S_{□ ABCD}=BC\cdot AE=CD\cdot AF=12$,所以AE=2,AF=3,在Rt△ABE中,$BE=\sqrt{AB^{2}-AE^{2}}=2\sqrt{3}$,在Rt△ADF中,$DF=\sqrt{AD^{2}-AF^{2}}=3\sqrt{3}$,所以CE+CF=BC-BE+DF-CD=$2+\sqrt{3}$;②如图2,因为$S_{□ ABCD}=BC\cdot AE=CD\cdot AF=12$,所以AE=2,AF=3,在Rt△ABE中,$BE=\sqrt{AB^{2}-AE^{2}}=2\sqrt{3}$,在Rt△ADF中,$DF=\sqrt{AD^{2}-AF^{2}}=3\sqrt{3}$,所以CE+CF=BC+BE+DF+CD=$10+5\sqrt{3}$.综上所述,CE+CF的值为$2+\sqrt{3}$或$10+5\sqrt{3}$.

3. 用适当的方法解下列方程:
(1)$(2x-1)^{2}+2(2x-1)= 3;$
(2)$2(x+3)^{2}= x^{2}-9;$
(3)$(x-3)^{2}+(x+4)^{2}-(x-5)^{2}= 17x+24.$

答案： 解:
(1)将2x-1看作一个整体，将原方程移项并分解因式,得(2x-1-1)(2x-1+3)=0,即(2x-2)(2x+2)=0,解得x₁=1,x₂=-1.
(2)原方程可化为2(x+3)²-(x+3)(x-3)=0.所以(x+3)[2(x+3)-(x-3)]=0,所以(x+3)(x+9)=0,解得x₁=-3,x₂=-9.
(3)原方程可化为x²-5x-24=0.分解因式,得(x+3)(x-8)=0,解得x₁=-3,x₂=8.

4. (2024 盐城市盐都区期中)定义:一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)$,若根的判别式$b^{2}-4ac$是一个完全平方数(式),则此方程叫"完美方程".
(1)判断下列方程一定是"完美方程"的是③(填序号).
①$x^{2}-4x-3= 0;$
②$x^{2}+mx+m-2= 0;$
③$x^{2}+(b+1)x+b= 0.$
(2)已知关于x的一元二次方程$x^{2}-2(m-1)x+m^{2}-2m= 0.$
①证明:此方程一定是"完美方程".
②设方程的两个实数根分别为$x_{1},x_{2}$$(x_{1}＜x_{2})$,是否存在实数k,使得点$P(x_{1},x_{2})$始终在函数y= kx-k+3的图像上？若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
(2)①证明:因为$[-2(m-1)]^{2}-4(m^{2}-2m)=4$是完全平方数，所以此方程一定是“完美方程”.②解:存在.因为x²-2(m-1)x+m²-2m=0,所以(x-m)[x-(m-2)]=0.因为x₁＜x₂,所以x₁=m-2,x₂=m.因为点P(x₁,x₂)始终在函数y=kx-k+3的图像上,所以m=k(m-2)-k+3,所以$k=\frac{m-3}{m-3}=1$.即存在实数k,使得点P(x₁,x₂)始终在函数y=kx-k+3的图像上,k的值为1.

答案：
(1)③　提示:①因为(-4)²-4×1×(-3)=28不是完全平方数,所以x²-4x-3=0不是“完美方程”;②因为m²-4(m-2)=(m-2)²+4不是完全平方式,所以x²+mx+m-2=0不是“完美方程”;③因为(b+1)²-4b=b²-2b+1=(b-1)²是完全平方式,所以x²+(b+1)x+b=0是“完美方程”.
(2)①证明:因为$[-2(m-1)]^{2}-4(m^{2}-2m)=4$是完全平方数，所以此方程一定是“完美方程”.②解:存在.因为x²-2(m-1)x+m²-2m=0,所以(x-m)[x-(m-2)]=0.因为x₁＜x₂,所以x₁=m-2,x₂=m.因为点P(x₁,x₂)始终在函数y=kx-k+3的图像上,所以m=k(m-2)-k+3,所以$k=\frac{m-3}{m-3}=1$.即存在实数k,使得点P(x₁,x₂)始终在函数y=kx-k+3的图像上,k的值为1.

5. 阅读与思考:将式子$x^{2}-6x+8$分解因式.
解法一:整式乘法与因式分解是方向相反的变形.
由$(x+p)(x+q)= x^{2}+(p+q)x+pq,得x^{2}+(p+q)x+pq= (x+p)(x+q).$
分析:这个式子的常数项$8= (-2)×(-4)$,一次项系数$-6= (-2)+(-4)$,所以$x^{2}-6x+8= x^{2}+[(-2)+(-4)]x+(-2)×(-4)$,所以$x^{2}-6x+8= (x-2)\cdot (x-4).$
解法二:配方的思想.
$x^{2}-6x+8= x^{2}-6x+9-9+8= (x-3)^{2}-1^{2}= (x-3+1)(x-3-1)= (x-2)\cdot (x-4).$
请仿照上面的方法,解答下列问题:
(1)分解因式:$x^{2}+5x+6= (x+3)· (x+2).$
(2)请用上述两种方法解方程(需写出每种方法的具体步骤):
①$x^{2}+6x-27= 0;$
②$4x^{2}-8x-5= 0.$
解:①解法一:$x^{2}+6x-27=0$,$(x+9)(x-3)=0$,解得$x_{1}=-9$,$x_{2}=3$;解法二:$x^{2}+6x-27=0$,$x^{2}+6x+9-9-27=0$,$(x+3)^{2}-36=0$,$(x+3+6)(x+3-6)=0$,$(x+9)(x-3)=0$,解得$x_{1}=-9$,$x_{2}=3$.②解法一:$4x^{2}-8x-5=0$,$(2x-5)(2x+1)=0$,解得$x_{1}=\frac{5}{2}$,$x_{2}=-\frac{1}{2}$;解法二:$4x^{2}-8x-5=0$,$4x^{2}-8x+4-4-5=0$,$(2x-2)^{2}-9=0$,$(2x-2+3)(2x-2-3)=0$,$(2x+1)(2x-5)=0$,解得$x_{1}=\frac{5}{2}$,$x_{2}=-\frac{1}{2}$.

答案： 解:
(1)3　2
(2)①解法一:x²+6x-27=0,(x+9)(x-3)=0,解得x₁=-9,x₂=3;解法二:x²+6x-27=0,x²+6x+9-9-27=0,$(x+3)^{2}-36=0$,(x+3+6)(x+3-6)=0,(x+9)(x-3)=0,解得x₁=-9,x₂=3.②解法一:4x²-8x-5=0,(2x-5)(2x+1)=0,解得$x_{1}=\frac{5}{2},x_{2}=-\frac{1}{2}$;解法二:4x²-8x-5=0,4x²-8x+4-4-5=0,$(2x-2)^{2}-9=0$,(2x-2+3)(2x-2-3)=0,(2x+1)(2x-5)=0,解得$x_{1}=\frac{5}{2},x_{2}=-\frac{1}{2}$.