《2025年小题狂做九年级数学上册苏科版提优版》

1.(2024 南通市中考)红星村种的水稻 2021 年平均每公顷产 7200 kg,2023 年平均每公顷产 8450 kg. 求水稻每公顷产量的年平均增长率. 设水稻每公顷产量的年平均增长率为 x,列方程为 (A)
A.$7200(1+x)^{2}= 8450$
B.$7200(1+2x)= 8450$
C.$8450(1-x)^{2}= 7200$
D.$8450(1-2x)= 7200$

答案： A

2. 某农机厂 4 月份生产零件 50 万个,第二季度共生产零件 182 万个. 设该厂 5 月份和 6 月份平均每月生产零件数量的增长率为 x,则 x 满足的方程是 (B)
A.$50(1+x)^{2}= 182$
B.$50+50(1+x)+50(1+x)^{2}= 182$
C.$50(1+2x)= 182$
D.$50+50(1+x)+50(1+2x)= 182$

答案： B

3. 如图,将矩形沿图中虚线(其中 $x＞y$)剪成四个图形,用这四个图形恰能拼成一个正方形. 若 $y= 2$,则 x 的值为 (C)
A.3
B.$2\sqrt{5}-1$
C.$1+\sqrt{5}$
D.$1+\sqrt{2}$
]

答案： C　提示:如图，四块图形拼成的正方形的边长为x.根据剪拼前后图形的面积相等，得y(x+y)=x².因为y=2,所以2(x+2)=x².整理,得x²-2x-4=0,解得x₁=1+√5,x₂=1-√5(舍去).

4.(2024 盐城市盐都区期中)如图是一个三角形点阵,从上向下有无数多行,其中第一行有 1 个点,第二行有 2 个点……第 n 行有 n 个点,容易发现,10 是三角点阵中前 4 行的点数之和. 当三角点阵中点数之和是 300 时,三角点阵的行数为24.

答案： 24　提示:设三角点阵中前n行的点数的和为300,则有$\frac{1}{2}$n(n+1)=300,整理,得n²+n−600=0,解得n₁=24,n₂=−25(舍去),即三角点阵中前24行的点数的和是300.

5. 现有一根长 22 cm 的铁丝.
(1)能否围成面积是 $30\ \text{cm}^2$ 的矩形？如果能,求出矩形的边长；如果不能,请说明理由.
(2)能否围成面积是 $32\ \text{cm}^2$ 的矩形？如果能,求出矩形的边长；如果不能,请说明理由.
(3)请问：能围成的矩形面积的最大值是多少？

答案： 解:设围成的矩形的一边长为x cm,则另一边长为(11−x) cm.
(1)假设能围成面积是30 cm²的矩形，则可列方程x(11−x)=30.整理,得x²-11x+30=0,解得x₁=5,x₂=6.当x=5时,11−x=6;当x=6时,11−x=5.所以能围成面积是30 cm²的矩形，矩形的两边长分别为5 cm和6 cm.
(2)假设能围成面积是32 cm²的矩形，则可列方程x(11−x)=32.整理，得x²-11x+32=0.此时根的判别式(-11)²-4×1×32=-7＜0,所以此方程无实数根.所以不能围成面积是32 cm²的矩形.
(3)x(11−x)=-x²+11x=-(x²−11x)=-(x²−11x+5.5²−5.5²)=-(x−5.5)²+30.25.因为-(x−5.5)²≤0,所以当x=5.5时，取得最大值30.25.所以能围成的矩形面积的最大值是30.25 cm².

6. 某商店八月份的销售额为 30 万元,九月份因经营不善销售额有明显下降,商店积极改进,十月份的销售额恢复到 30 万元. 已知十月份销售额的增长率是九月份销售额的下降率的 1.5 倍. 求九月份的销售额.

答案： 解:设九月份销售额的下降率为x,则十月份销售额的增长率为1.5x.由题意，得30(1−x)(1+1.5x)=30.整理,得3x²-x=0.解得x₁=$\frac{1}{3}$,x₂=0(舍去).所以30(1−x)=30×(1 - $\frac{1}{3}$)=20(万元).答:九月份的销售额为20万元.