《2025年小题狂做九年级数学上册苏科版提优版》

2. 如图,点 O 是正五边形 ABCDE 和正三角形 AFG 的中心,连接 AD,EF 交于点 P,则∠APE 的度数为84°.
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答案： 84 提示:连接OC,OD,OF,OG,OA,OE.因为五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形,所以$\angle COD=\angle AOE=\frac{360^\circ}{5}=72^\circ$,所以$\angle AFE=\frac{1}{2}\angle AOE=36^\circ$.因为△AFG是⊙O的内接正三角形,所以$\angle FOG=\frac{360^\circ}{3}=120^\circ$.根据对称性可知,$\angle COF=\angle DOG=\frac{1}{2}×(120^\circ-72^\circ)=24^\circ$,所以$\angle FAD=\frac{1}{2}(\angle COF+\angle COD)=48^\circ$,所以∠APE=∠FAD+∠AFE=48°+36°=84°.

3. 如图,正六边形 ABCDEF 的边长为 2 cm,M,N 分别是 AF,CD 的中点,将正六边形 ABCDEF 绕点 E 顺时针旋转一定角度后,点 A 的对应点 A'刚好落在直线 NM 上,则此时 A'M 的长为______$(2\sqrt{2}-\sqrt{3})\text{cm}$或$(2\sqrt{2}+\sqrt{3})\text{cm}$.

答案： $(2\sqrt{2}-\sqrt{3})\text{cm}$或$(2\sqrt{2}+\sqrt{3})\text{cm}$
提示:①当正六边形ABCDEF绕点E顺时针旋转较小的角度时,如图1所示.因为正六边形ABCDEF的边长为2cm,所以∠F=120°,AF=EF=2cm,∠FAE=∠FEA=30°.连接EA,EA',易得$EA=\sqrt{3}AF=2\sqrt{3}\text{cm}=EA'$.过点E作EP⊥MN于点P.因为M,N分别是AF,CD的中点,所以AM=MF=CN=DN=1cm,连接PF,可得△PFE为等边三角形,所以PF=EF=2cm.在Rt△PMF中,由勾股定理,得$MP=\sqrt{PF^2-MF^2}=\sqrt{3}\text{cm}$.在Rt△A'PE中,由勾股定理,得$PA'=\sqrt{A'E^2-PE^2}=2\sqrt{2}\text{cm}$,所以$A'M=PA'-PM=(2\sqrt{2}-\sqrt{3})\text{cm}$.
②当正六边形ABCDEF绕点E顺时针旋转较大的角度时,如图2所示.同理,在Rt△A'PE中,由勾股定理,得$PA'=\sqrt{A'E^2-PE^2}=2\sqrt{2}\text{cm}$.又因为$PM=\sqrt{3}\text{cm}$,所以$A'M=PA'+PM=(2\sqrt{2}+\sqrt{3})\text{cm}$.
综上所述,A'M的长为$(2\sqrt{2}-\sqrt{3})\text{cm}$或$(2\sqrt{2}+\sqrt{3})\text{cm}$.

4. 如图,已知等边三角形 ABC,请用直尺(不带刻度)和圆规,按下列要求作图(不要求写出作法,但要保留作图痕迹).
(1) 作△ABC 的外心 O;
(2) 设 D 是边 AB 上一点,在图中作出一个正六边形 DEFGHI,使点 F,H 分别在边 BC 和 AC 上.
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答案：
(1)如图,点O即为所求.
(2)如图,六边形DEFGHI即为所求作的正六边形.

5. 已知,五边形 ABCDE 为正五边形.
(1) 如图 1,连接 AC,BE 交于点 P,求证:四边形 PEDC 为菱形;
(2) 如图 2,延长 CD,AE 交于点 M,连接 BM 交 CE 于点 N,求证:CN= EP.

答案：
(1)证明:因为五边形ABCDE是正五边形,所以∠BCD=∠BAE=108°.因为AB=AE,所以∠ABE=∠AEB=36°,所以∠CBE=72°,所以∠DCB+∠CBE=180°,所以CD//BE.同理可证,AC//DE,所以四边形PEDC是平行四边形.又因为CD=DE,所以□PEDC是菱形.
(2)证明:如图,连接AN.由
(1),易得∠MCA=∠MAC=72°,所以MC=MA.又因为BC=BA,所以BM垂直平分线段AC,所以NC=NA,所以∠NCA=∠NAC=∠CEP=36°.因为∠PAE=∠NEA=72°,所以∠PEA=∠NAE=36°.因为AE=EA,所以△PAE≌△NEA,所以AN=PE,所以CN=PE.

6. (1) 如图 1,△ABC 是⊙O 的内接正三角形,P 为$\overset{\frown}{BC}$上一动点,求证:PA= PB+PC.
(2) 如图 2,四边形 ABCD 是⊙O 的内接正方形,P 为$\overset{\frown}{BC}$上一动点,求证:$PA= PC+\sqrt{2}PB$.
(3) 如图 3,六边形 ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形,P 为$\overset{\frown}{BC}$上一动点,请探究 PA,PB,PC 三者之间有何数量关系,并给予证明.
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答案：
(1)证明:如图1,延长BP至点E,使PE=PC,连接CE.易得∠BAC+∠BPC=180°.因为∠BPC+∠EPC=180°,△ABC是正三角形,所以∠CPE=∠BAC=60°.又因为PE=PC,所以△PCE是等边三角形,所以CE=PC,∠E=60°.因为∠BCE=∠PCE+∠BCP,∠ACP=∠ACB+∠BCP,所以∠BCE=∠ACP.因为△ABC为等边三角形,所以BC=AC,所以△BEC≌△APC,所以PA=EB=PB+PE=PB+PC.
(2)证明:如图2,连接OA,OB,过点B作BE⊥PB,交PA于点E,则∠1+∠2=∠2+∠3=90°,所以∠1=∠3.因为四边形ABCD为⊙O的内接正方形,所以$\angle APB=\frac{1}{2}\angle AOB=45^\circ$,所以BP=BE,所以$PE=\sqrt{2}PB$.又因为AB=BC,所以△ABE≌△CBP,所以PC=AE.所以$PA=AE+PE=PC+\sqrt{2}PB$.
(3)解:$PA=PC+\sqrt{3}PB$.证明如下:
连接OA,OB,过点B作BM⊥AP,在AP上截取AQ=PC,连接BQ.因为∠BAP=∠BCP,AB=BC,所以△ABQ≌△CBP,所以BQ=BP.所以MP=QM,易知$\angle APB=\frac{1}{2}\angle AOB=30^\circ$,所以$PM=\frac{\sqrt{3}}{2}PB$,所以$PQ=\sqrt{3}PB$,所以$PA=AQ+PQ=PC+\sqrt{3}PB$.