《2025年小题狂做九年级数学上册苏科版提优版》

1. 如图,两个同心圆,大圆的半径为5,小圆的半径为3. 若大圆的弦$AB$与小圆有公共点,则弦$AB$的取值范围是 (A)

A.$8\leq AB\leq 10$
B.$8＜ AB\leq 10$
C.$4\leq AB\leq 5$
D.$4＜ AB\leq 5$

答案： A

2. 如图,直线$y= \frac{\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3}与x$轴、$y轴分别交于A$,$B$两点,圆心$P的坐标为(1,0)$,$\odot P与y轴相切于点O$. 若将$\odot P沿x$轴向左移动,则当$\odot P$与该直线相交时,横坐标为整数的点$P$的个数是 (B)
A.2
B.3
C.4
D.5

答案： B 提示:若⊙P₁与AB相切，如图所示，过点P₁作P₁E⊥AB于点E，则d=r=1.因为直线y=√3/3x + √3与x轴、y轴分别交于A，B两点，所以点A(-3,0)，B(0,√3)，所以OA=3，OB=√3.在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB=2√3，所以AB=2OB，所以∠BAO=30°，所以AP₁=2P₁E=2，所以点P₁(-1,0).同理，在点A的左侧有点P₂(-5,0)使⊙P₂与AB相切.所以当⊙P与直线AB相交时，横坐标为整数的点P的个数是3.

3. 如图,在直角三角形$ABC$中,$\angle C= 90^\circ$,$BC= 3$,$AC= 4$,$D$,$E分别是AC$,$BC$上的一点,且$DE= 3$. 若以$DE为直径的圆与斜边AB相交于点M$,$N$,则$MN$长的最大值为 (C)
A.$\frac{8}{5}$
B.2
C.$\frac{12}{5}$
D.$\frac{14}{5}$

答案： C 提示:如图，过点C作CF⊥AB于点F.取DE的中点O，过点O作OG⊥AB于点G.连接OC，OM.易知OC=OM=1/2DE=3/2.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=√(AC² + BC²)=5.因为S△ABC=1/2AC·BC=1/2AB·CF，所以CF=12/5.由垂径定理，得MN=2MG.由勾股定理，得MG=√(OM² - OG²).所以当OG长最小时，MN长最大.因为OC+OG≥CF，即OG≥CF - OC，所以当C，O，G三点共线，且点G与点F重合时，OG长取得最小值，此时OG=CF - OC=12/5 - 3/2=9/10，MG=√(OM² - OG²)=6/5，MN=2MG=12/5，即MN长的最大值为12/5.

4. 如图,半径为2的$\odot P的圆心在直线y= 2x-1$上运动,当$\odot P与x$轴相切时,圆心$P$的坐标为(1.5,2)或(-0.5,-2).

答案： (1.5,2)或(-0.5,-2) 提示:因为⊙P的圆心在直线y=2x - 1上，所以可设点P(x,2x - 1).当⊙P与x轴正半轴相切时，2x - 1=2，解得x=1.5，所以点P(1.5,2);当⊙P与x轴负半轴相切时，2x - 1=-2，解得x=-0.5，所以点P(-0.5,-2).所以点P的坐标为(1.5,2)或(-0.5,-2).

5. 已知$\odot O的半径为R$,点$O到直线l的距离为d$. 若$R$,$d是关于x的方程x^{2}-4x+m= 0$的两个根,则当直线$l与\odot O$相切时,$m$的值为4.

答案： 4

6. 如图,在矩形$ABCD$中,$AB= 4$,$BC= 6$,$E为边CD$上的一个动点(不与点$C$,$D$重合),$\odot O是\triangle BCE$的外接圆.
(1)若$CE= 2$,$\odot O交AD于点F$,$G$,求$FG$的长度.
(2)若$CE的长度为m$,试探索$\odot O与直线AD的位置关系及对应的m$的取值范围.

答案：
解:
(1) 如图1，过点O作OM⊥FG于点M，延长MO交BC于点N，连接OG.易得四边形MNCD是矩形，所以MN⊥BC，MN=CD=AB=4，所以BN=CN.因为OB=OE，所以ON是△BCE的中位线，所以ON=1/2CE=1，所以OM=MN - ON=3.在Rt△BCE中，BE=√(BC² + CE²)=2√10，所以OG=1/2BE=√10.在Rt△OMG中，MG=√(OG² - OM²)=1，所以FG=2MG=2.
(2) 如图2，当⊙O与AD相切于点M时，连接OM并反向延长交BC于点N.由
(1)易得ON=1/2CE=1/2m，OB=OM=4 - 1/2m，BN=3.在Rt△BON中，ON² + BN²=OB²，即(1/2m)² + 3²=(4 - 1/2m)²，解得m=7/4.易知m的值越大，⊙O的半径r=1/2√(BC² + CE²)=1/2√(36 + m²)越大，⊙O到AD的距离d=4 - 1/2m越小，所以当0＜m＜7/4时，⊙O与AD相离，当m=7/4时，⊙O与AD相切，当7/4＜m＜4时，⊙O与AD相交.