《2025年小题狂做九年级数学上册苏科版提优版》

1. 如图,点 O 是$\triangle ABC$的内心,也是$\triangle DBC$的外心. 若$∠A= 84^{\circ }$,则$∠D$的度数为 (B)

A.$42^{\circ }$
B.$66^{\circ }$
C.$76^{\circ }$
D.$82^{\circ }$

答案： B

2. 如图,AC 是矩形 ABCD 的对角线,$\odot O是\triangle ABC$的内切圆,E 是边 AD 上一点,连接 CE. 将$\triangle CDE$绕点 C 逆时针旋转,当 CD 落到对角线 AC 上时,点 E 恰与圆心 O 重合. 已知$AE= 6$,则下列结论不正确的是(D)

A.$BC+DE= AC$
B.$\odot O$的半径是 2
C.$∠ACB= 2∠DCE$
D.$AE= CE$

答案： D　提示:设$\odot O$与边AC,AB,BC的切点分别为F,G,H，$\odot O$的半径为r，连接OG,OH.易证四边形BGOH是正方形，所以OG=OH=BG=BH=OF=r.由旋转的性质，得OF=ED=r，CF=CD，∠FCO=∠DCE，所以∠ACB=2∠DCE.因为BC=AD，所以BC-BH=AD-ED，即CH=AE.由切线长定理，得CH=CF，AF=AG，所以AB=CD=CF=CH=AE=6，AF=AG=6-r，所以AC=12-r.在Rt△ABC中，由勾股定理，得$AB^2+BC^2=AC^2$，即$6^2+(6+r)^2=(12-r)^2$，解得r=2.所以BC=8，AC=10.所以BC+DE=AC，$\odot O$的半径是2，所以选项A,B,C正确.因为AE=CD，CD＜CE，所以AE＜CE，所以选项D不正确.

3. (2024 南京市鼓楼区期中)如图,四边形 ABCD 是$\odot O$的外切四边形,且$BC= 3,AD= 5$,若四边形 ABCD 的面积等于 15,则$\odot O$的半径等于$\frac{15}{8}$.

答案： $\frac{15}{8}$　提示:如图，设点E,F,G,H为四边形ABCD与$\odot O$的切点，连接OA,OB,OC,OD,OE,OF,OG,OH，则OE⊥BC，OF⊥CD，OG⊥AD，OH⊥AB.由切线长定理，得BE=BH，CE=CF，DF=DG，AH=AG.因为BC=3，AD=5，所以AB+CD=8.设OE=OF=OG=OH=x.因为四边形ABCD的面积等于15，所以$\frac{1}{2}AB·OH+\frac{1}{2}BC·OE+\frac{1}{2}CD·OF+\frac{1}{2}AD·OG=15$，即$\frac{1}{2}x(AB+BC+CD+AD)=15$，所以$\frac{1}{2}x×(8+3+5)=15$，所以$x=\frac{15}{8}$.

4. (2024 盐城市大丰区期中)如图,在$Rt\triangle ABC$中,$∠C= 90^{\circ },\triangle ABC的内切圆\odot O$与 AB,BC,CA 分别相切于点 D,E,F,若$\odot O$的半径为 2,$AD\cdot DB= 24$,则 AB 的长为10.

答案： 10　提示:如图，连接OE,OF.由题意可知，四边形ECFO是边长为2的正方形.因为△ABC的内切圆$\odot O$与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F，所以AD=AF，BD=BE.设AD=AF=a，BD=BE=b，则AC=a+2，BC=b+2，AB=a+b.因为$AC^2+BC^2=AB^2$，所以$(a+2)^2+(b+2)^2=(a+b)^2$，所以4a+4b+8=2ab.又因为AD·DB=ab=24，所以2ab=48，所以4(a+b)=48-8=40，所以a+b=10，所以AB=10.

5. 如图,AB 为$\odot O$的直径,$AO= 4$,点 C 在半圆上,$OC⊥AB$,垂足为 O,P 为半圆上任意一点,过点 P 作$PE⊥OC$于点 E,设$\triangle OPE$的内心为点 M,连接 OM,MP.
(1)求$∠OMP$的度数.
(2)随着点 P 在半圆上位置的改变,$∠CMO$的大小是否改变? 请说明理由.

答案： 解:
(1)因为PE⊥OC，所以∠PEO=90°，所以∠EOP+∠EPO=90°.因为点M为△OPE的内心，所以$∠MOP=\frac{1}{2}∠EOP$，$∠MPO=\frac{1}{2}∠EPO$，所以$∠MOP+∠MPO=\frac{1}{2}(∠EOP+∠EPO)=45°$.所以∠OMP=180°-45°=135°.
(2)∠CMO的大小不变.理由如下:连接CM.在△CMO和△PMO中，$\begin{cases}CO = PO\\∠COM = ∠POM\\MO = MO\end{cases}$，所以△CMO≌△PMO，所以∠CMO=∠PMO=135°，即∠CMO的大小不发生改变.

6. (1)如图 1,已知四边形 ABCD 内接于$\odot O$,四条边长满足:$AB+CD≠BC+AD$. 若$∠BAD$的平分线 AE 交$\odot O$于点 E,$∠BCD$的平分线 CF 交$\odot O$于点 F,连接 EF. 求证:EF 是$\odot O$的直径.
(2)如图 2,已知四边形 ABCD 既有外接圆,又有内切圆,它的内切圆$\odot O$与 AB,BC,CD,AD 分别相切于点 E,F,G,H. 连接 EG,FH 交于点 P. 求证:$EG⊥FH.$

答案：

(1)证法1:因为AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，所以$\widehat{BE}=\widehat{DE}$，$\widehat{BF}=\widehat{DF}$，所以$\widehat{BE}+\widehat{BF}=\widehat{DE}+\widehat{DF}$，即$\widehat{EBF}=\widehat{EDF}$，所以$\widehat{EBF}$与$\widehat{EDF}$均为半圆，所以EF是$\odot O$的直径.
证法2:如图1，连接AF.因为四边形ABCD内接于$\odot O$，所以∠BAD+∠BCD=180°.因为AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，所以$∠1=\frac{1}{2}∠BAD$，$∠2=\frac{1}{2}∠BCD$，所以∠1+∠2=90°.由同弧所对的圆周角相等可得∠2=∠3，所以∠1+∠3=90°，即∠EAF=90°.所以EF是$\odot O$的直径.

证法3:如图2，连接FD,ED.因为四边形ABCD内接于$\odot O$，所以∠BAD+∠BCD=180°.由题意，得$∠1=\frac{1}{2}∠BAD$，$∠2=\frac{1}{2}∠BCD$，由同弧所对的圆周角相等，得∠EFD=∠1，∠FED=∠2，所以$∠EFD+∠FED=\frac{1}{2}(∠BAD+∠BCD)=90°$，所以∠FDE=90°.所以EF是$\odot O$的直径.

(2)证明:如图3，连接OE,OF,OG,OH,HG.因为$\odot O$是四边形ABCD的内切圆，所以OE⊥AB,OF⊥BC,OG⊥CD,OH⊥AD.所以∠OEA=∠OHA=90°.所以在四边形EAHO中，∠A+∠EOH=360°-90°-90°=180°.同理可证∠FOG+∠C=180°.因为四边形ABCD有外接圆，所以∠A+∠C=180°，所以∠EOH=∠C，所以∠FOG+∠EOH=180°.又因为$∠FHG=\frac{1}{2}∠FOG$，$∠EGH=\frac{1}{2}∠EOH$，所以∠FHG+∠EGH=90°.所以∠HPG=90°，即EG⊥FH.