《2025年小题狂做九年级数学上册苏科版提优版》

1. 如图,在网格中(每个小正方形的边长均为1 个单位长度)选取9个格点(格线的交点称为格点). 如果以点 A 为圆心,r 为半径画圆,选取的格点中除 A 外恰好有 3 个在圆内,那么 r 的取值范围为(B)
A.$2\sqrt {2}＜r＜\sqrt {17}$
B.$\sqrt {17}＜r＜3\sqrt {2}$
C.$\sqrt {17}＜r＜5$
D.$5＜r＜\sqrt {29}$
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答案： B

2. 如图,已知在正方形 ABCD 中,$AB= 4$,以点 B 为圆心,1 为半径作$\odot B$,点 P 在$\odot B$上运动,连接 AP. 将 AP 绕点 A 逆时针旋转$90^{\circ }至AP'$,连接$BP'$. 在点 P 运动过程中,$BP'$长的最小值是(A)
A.$4\sqrt {2}-1$
B.$4\sqrt {2}$
C.$4\sqrt {3}$
D.3
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答案： A 提示:连接DP',BP.由旋转可知,AP=AP',∠PAP'=∠DAB=90°,所以∠PAB=∠P'AD,易证△PAB≌△P'AD,所以P'D=PB=1.所以点P'在以点D为圆心,1为半径的圆上.连接BD,则BP'≥BD-P'D.所以当P'是⊙D与线段BD的交点时,BP'的长最小,最小值为BP'=BD-P'D.在Rt△ABD中,由勾股定理,得BD=4√2,所以BP'长的最小值为4√2-1.

3. (2024 常州市期中)如图,已知$\odot A$的半径为1,圆心的坐标为$(4,3)$. 若$P(m,n)是\odot A$上的一个动点,则$m^{2}+n^{2}$的最大值为36.

答案： 36 提示:如图，作射线OA交⊙A于点P'.因为圆心A的坐标为(4,3),点P的坐标为(m,n),所以OA=√3²+4²=5,OP=√m²+n².所以m²+n²是点P到点O的距离的平方,所以当点P运动到点P'处时,点P离点O最远,即m²+n²取最大值,此时OP=OP'=OA+AP'=5+1=6,则m²+n²=36.

4. 【发现问题】
小明在做作业时碰到这样一道题:如图1,点 O 为坐标原点,$\odot O$的半径为 1,点$A(2,0)$. 动点 B 在$\odot O$上,连接 AB,作等边三角形 ABC(A,B,C 为顺时针顺序),求 OC 长的最大值.
【解决问题】
小明经过多次尝试与探索,终于得到解题思路:在图1中,连接 OB,以 OB 为边在 OB 的左侧作等边三角形 BOE,连接 AE.
(1) 请找出图中与 OC 长度相等的线段,并说明理由.
(2) 请直接写出线段 OC 长的最大值.
【迁移拓展】
(3) 如图 2,$BC= 4\sqrt {2}$,D 是以 BC 为直径的半圆上不同于点 B,C 的一个动点,以 BD 为边作等边三角形 ABD,请求出 AC 的最值,并说明理由.
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答案： 解:
(1)OC=AE.理由如下:因为△ABC,△BOE都是等边三角形,所以BC=BA,BO=BE,∠CBA=∠OBE=60°.所以∠CBO=∠ABE,所以△CBO≌△ABE,所以OC=AE.
(2)OC长的最大值为3.
(3)如图1,以BC为边作等边三角形BCM.易证△ABC≌△DBM,所以AC=DM,所以欲求AC的最值,只要求出DM的最值即可.连接OD,OM.因为BC=4√2,所以OD=2√2,OM=2√6.因为OM-OD≤MD≤OM+OD,所以当点M在BC的下方,且M,O,D三点依次共线时,DM取得最大值,最大值为2√6+2√2.同理可知,当点M在BC的上方,且M,D,O三点依次共线时,DM取得最小值,最小值为2√6-2√2.所以AC的最大值为2√6+2√2,最小值为2√6-2√2.