《2025年小题狂做九年级数学上册苏科版提优版》

1. 一元二次方程 $(x+1)(x-3)= 2x-5$ 根的情况是(D)
A.无实数根
B.有一个正根,一个负根
C.有两个正根,且都小于 3
D.有两个正根,且有一根大于 3

答案： D

2. 若实数 $x$ 满足方程 $(x^{2}+2x)(x^{2}+2x-2)-8= 0$,则 $x^{2}+2x$ 的值为(B)
A.-2 或 4
B.4
C.-2
D.2 或-4

答案： B

3. 已知方程 $x^{2}-6x+q= 0$ 可以配方成 $(x-p)^{2}= 7$,则方程 $x^{2}-6x+q= 2$ 可以配方成(B)
A.$(x-p)^{2}= 5$
B.$(x-p)^{2}= 9$
C.$(x-p+2)^{2}= 9$
D.$(x-p+2)^{2}= 5$

答案： B 提示:因为$x^{2}-6x+q=0$,所以$x^{2}-6x=-q$,所以$x^{2}-6x+9=-q+9$,所以$(x-3)^{2}=9-q$.根据题意,得$p=3$,$9-q=7$,所以$q=2$.所以方程$x^{2}-6x+q=2$即为$x^{2}-6x+2=2$,所以$x^{2}-6x=0$.配方,得$x^{2}-6x+9=9$,即$(x-3)^{2}=9$,即$(x-p)^{2}=9$.

4. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2}+2(m+2)x+9m= 0$. 若方程的左边是一个完全平方式,则 $m$ 的值为1或4.

答案： 1或4

5. 已知 $a$,$b$,$c$ 满足 $a-b= 8$,$ab+c^{2}+16= 0$,则 $2a+b+c$ 的值为4.

答案： 4 提示:因为$a-b=8$,所以$a=b+8$,所以$ab+c^{2}+16=b(b+8)+c^{2}+16=(b+4)^{2}+c^{2}=0$,所以$b=-4$,$c=0$,所以$a=4$,所以$2a+b+c=4$.

6. 已知 $a$,$b$,$c$ 为$\triangle ABC$ 的三边长,且 $a$,$b$ 满足 $a^{2}-6a+b^{2}-4b+13= 0$,$c$ 为奇数,则$\triangle ABC$ 的周长为8.

答案： 8 提示:因为$a^{2}-6a+b^{2}-4b+13=0$,所以$(a-3)^{2}+(b-2)^{2}=0$,所以$a=3$,$b=2$,所以边长c的取值范围为$1＜c＜5$.因为边长c的值为奇数,所以$c=3$,所以$\triangle ABC$的周长为$2+3+3=8$.

7. 用配方法解下列方程：
(1)$(x-1)^{2}-6(x-1)-27= 0$；
(2)$x(x-2\sqrt{2})+1= 2x^{2}-3$.

答案： 解:
(1) 把$x-1$当作一个整体.移项,得$(x-1)^{2}-6(x-1)=27$.配方,得$(x-1)^{2}-6(x-1)+9=27+9$,即$(x-1-3)^{2}=36$.直接开平方,得$x-4=\pm 6$.所以$x_{1}=10$,$x_{2}=-2$.
(2) 原方程可化为$x^{2}+2\sqrt{2}x=4$.配方,得$x^{2}+2\sqrt{2}x+(\sqrt{2})^{2}=4+(\sqrt{2})^{2}$,即$(x+\sqrt{2})^{2}=6$.直接开平方,得$x+\sqrt{2}=\pm \sqrt{6}$,所以$x_{1}=-\sqrt{2}+\sqrt{6}$,$x_{2}=-\sqrt{2}-\sqrt{6}$.

8. 你能用配方法解方程 $(y-3)^{2}-4(y-3)-45= 0$ 吗？小明给出了以下解题过程.
解：移项,得 $(y-3)^{2}-4(y-3)= 45$.
配方,得 $(y-3)^{2}-4(y-3)+4= 45+4$,
即 $[(y-3)-2]^{2}= 49$,所以 $y-5= \pm7$.
解得 $y_{1}= 12$,$y_{2}= -2$.
请你参照上述方法,用配方法解方程 $(6x+7)^{2}(6x+8)(6x+6)= 72$.

答案： 解:令$y=6x+7$.由$(6x+7)^{2}(6x+8)(6x+6)=72$,得$y^{2}(y+1)(y-1)=72$,即$y^{4}-y^{2}=72$,配方,得$\left(y^{2}-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{289}{4}$.直接开平方,得$y^{2}-\frac{1}{2}=\frac{17}{2}$或$y^{2}-\frac{1}{2}=-\frac{17}{2}$(舍去).所以$y^{2}=9$.所以$(6x+7)^{2}=9$.所以$6x+7=3$或$6x+7=-3$.解得$x_{1}=-\frac{2}{3}$,$x_{2}=-\frac{5}{3}$.

9. 构造合适的图形,可以用线段的长表示一元二次方程的正根.
(1)如图,$\text{Rt}\triangle ABC$ 的两直角边长分别为 $\frac{m}{2}$ 和 $n$,在斜边 $AB$ 上截取 $BD= \frac{m}{2}$,请说明 $AD$ 的长为关于 $x$ 的方程 $x^{2}+mx= n^{2}$ 的一个根.
(2)已知关于 $x$ 的方程 $x^{2}-mx+n^{2}= 0(m＞2n＞0)$,请构造合适的图形表示该方程的正根(要求有必要的文字说明,并在图中作必要标注).
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答案：
解:
(1) 解关于x的方程$x^{2}+mx=n^{2}$,得$x_{1}=-\sqrt{n^{2}+\frac{m^{2}}{4}}-\frac{m}{2}$,$x_{2}=\sqrt{n^{2}+\frac{m^{2}}{4}}-\frac{m}{2}$.在$Rt\triangle ABC$中,由勾股定理,得斜边AB的长为$\sqrt{n^{2}+\frac{m^{2}}{4}}$,所以$AD=AB-BD=\sqrt{n^{2}+\frac{m^{2}}{4}}-\frac{m}{2}=x_{2}$,即AD的长为该方程的一个根.
(2) 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$AB=\frac{m}{2}$,$AC=n$,以点B为圆心,AB的长为半径画半圆,与直线BC相交于D,E两点,则CD,CE的长为关于x的方程$x^{2}-mx+n^{2}=0$($m＞2n＞0$)的两个根.(答案不唯一)