《2025年小题狂做九年级数学上册苏科版提优版》

1. 如图,在△ABC中,AB= AC,AD是∠BAC的平分线,EF是AC的垂直平分线,交AD于点O. 若OA= 3,则△ABC外接圆的面积为 (D)
A.3π
B.4π
C.6π
D.9π

答案： D

2. 如图,点A,B,C,D均在直线l上,点P在直线l外,则经过其中任意三个点,最多可画出圆的个数为 (D)
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个

答案： D

3. 如图,⊙O是锐角三角形ABC的外接圆,OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC,垂足分别为D,E,F,连接DE,EF,FD. 若DE+DF= 13/2,△ABC的周长为21,则EF的长为 (B)
A.8
B.4
C.7/2
D.3

答案： B　提示:因为OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC,所以AD=BD,AF=CF,BE=CE,所以DE,DF,EF 是△ABC的中位线,所以$DE=\frac{1}{2}AC$,$DF=\frac{1}{2}BC$,$EF=\frac{1}{2}AB$,所以$DE+DF+EF=\frac{1}{2}(AB+BC+AC)=\frac{1}{2}×21=\frac{21}{2}$.因为$DE+DF=\frac{13}{2}$,所以EF=4.

4. 如图,已知点E是△ABC的外心,P,Q分别是AB,AC的中点,连接EP,EQ交BC于点F,D,若BF= 5,DF= 3,CD= 4,则△ABC的面积为 (B)
A.18
B.24
C.30
D.36

答案： B

5. (2024 宿迁市宿城区期中)设x,y是一个直角三角形两条直角边的长,且$(x^2+y^2)·(x^2+y^2-1)= 56,$则这个直角三角形的外接圆面积为2π.

答案： 2π

6. 根据三角形外心的概念,我们可引入一个新定义：到三角形的两个顶点距离相等的点,叫作此三角形的准外心. 根据准外心的定义,探究如下问题：如图,在Rt△ABC中,∠A= 90°,BC= 10,AB= 6,如果准外心P在边AC上,那么PA的长为 4或$\frac{7}{4}$.

答案： 4或$\frac{7}{4}$　提示:在Rt△ABC中,由勾股定理，得$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=8$.分三种情况讨论:若PB=PC,连接PB,设PA=x,则PB=PC=8−x.在Rt△PAB中,因为$PB^2=PA^2+AB^2$,所以$(8-x)^2=x^2+6^2$,解得$x=\frac{7}{4}$,即$PA=\frac{7}{4}$.若PA=PC,则PA=4.若PA=PB,因为在Rt△PAB中,PB是斜边，所以此种情况不存在

7. (2024 南京市鼓楼区期中)尺规作图：已知线段AB和⊙O,将线段AB沿某条直线翻折后,A,B两点恰好落在⊙O上,请按照下列要求分别作出翻折后的线段A'B'.(保留作图痕迹,并写出必要的文字说明)
(1)如图1,AB的长度等于⊙O的直径；
(2)如图2,AB的长度小于⊙O的直径.

答案：
解:
(1)如图1,作法如下:①作线段AB的垂直平分线，取线段AB 的中点O';②以点O'为圆心，$\frac{1}{2}AB$为半径作⊙O'，连接OO';③作OO'的垂直平分线l,作点B关于直线l的对称点B';④连接B'O并延长交⊙O于点A'，线段A'B'即为所求.　　　
(2)作法如下:①作线段AB的垂直平分线m，在直线m 上取点O'，使得O'A等于⊙O的半径长，作⊙O的等圆⊙O';②连接OO'，作OO'的垂直平分线l，作点B关于直线l的对称点B'，点A关于直线l的对称点A';③连接A'B'，线段A'B'即为所求.当点O'位于AB的右侧时,如图2,线段A'B'即为所求.　　　 当点O'位于AB的左侧时,如图3,线段A'B'即为所求.