《2025年小题狂做九年级数学上册苏科版提优版》

1. (2024 南京市联合体期中)如图,已知 PA,PB 是$\odot O$的两条切线,A,B 为切点,线段 OP 交$\odot O$于点 M. 给出下列四种说法:①$PA= PB$;②$OP⊥AB$;③四边形 OAPB 有外接圆;④点 M 是$\triangle ABP$的内心. 其中所有正确说法的个数是 (D)

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： D

2. 如图,在$4×4$的正方形网格中,点 A,B,C,D,O 均在格点上,则点 O 是 (A)
A.$\triangle ACD$的外心
B.$\triangle ACD$的内心
C.$\triangle ABC$的外心
D.$\triangle ABC$的内心

答案： A

3. 小明对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编:如图,一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门,出南门向东走一段路程后刚好看 到北门外的一棵大树,向树的方向走9里到达城堡边,再往前走6里到达树下,则该城堡的外围直径为9里.

答案： 9　提示:设该圆形城堡的外围半径为r里.由题意可知，向树的方向走的那条路线与该圆形城堡相切，所以由切线长定理可知，出南门向正东走的路程为9里.由等积法，得$\frac{1}{2}×9×\sqrt{(9+6)^2-9^2}=\frac{1}{2}×(9+6)r+\frac{1}{2}×9r$，解得$r=\frac{9}{2}$，所以该城堡的外围直径为9里.(也可由勾股定理列方程解之)

4. (2024 徐州市期中)如图,P 是$\odot O$外的一点,PA,PB 分别与$\odot O$相切于点 A,B,C 是劣弧 AB 上的任意一点,过点 C 的切线分别交 PA,PB 于点 D,E. 若$PA= 4$,则$\triangle PED$的周长为8.

答案： 8

5. 如图,点 P 为$\triangle ABC$的内心,经过点 P 的线段分别与 AC,BC 相交于点 D,E. 若$CD= CE= 4,DE= 2$,则点 P 到 AB 的距离为$\frac{\sqrt{15}}{4}$.

答案： $\frac{\sqrt{15}}{4}$　提示:连接CP,PB,过点P作PH⊥BC于点H,PG⊥AB于点G.因为P为△ABC的内心，所以CP平分∠DCE,PB平分∠ABC,所以PH=PG.因为CD=CE=4,所以PD=PE=1,CP⊥DE,所以$CP=\sqrt{CE^2-PE^2}=\sqrt{15}$.因为$S_{\triangle PCE}=\frac{1}{2}PE·PC=\frac{1}{2}PH·CE$，所以$PH=\frac{PE·PC}{CE}=\frac{\sqrt{15}}{4}$，即点P到AB的距离PG为$\frac{\sqrt{15}}{4}$.

6. 如图,点 O,I 分别是锐角三角形 ABC 的外心、内心. 若$∠CAB= 6∠OAC= 48^{\circ }$,则$∠BCI=$25°.

答案： 25　提示:连接OC.因为∠CAB=6∠OAC=48°，所以∠OAC=8°.因为点O是△ABC的外心，所以OA=OC，所以∠OCA=∠OAC=8°，所以∠AOC=180°-∠OCA-∠OAC=164°，所以$∠ABC=\frac{1}{2}∠AOC=82°$.因为∠ACB+∠CAB+∠ABC=180°，所以∠ACB=180°-∠CAB-∠ABC=50°.因为点I是△ABC的内心，所以$∠BCI=\frac{1}{2}∠ACB=25°$.

7. 如图,已知$\triangle ABC.$
(1)求作$\triangle ABC$的内心 E(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
(2)在(1)的条件下,若$∠C= 78^{\circ }$,求$∠AEB$的度数.

答案：
解:
(1)如图所示，点E即为所求.

(2)连接AE.因为∠CAB+∠CBA+∠ACB=180°，所以∠CAB+∠CBA=180°-∠ACB.因为点E是△ABC的内心，所以AE平分∠CAB,BE平分∠CBA，所以$∠EAB=\frac{1}{2}∠CAB$，$∠EBA=\frac{1}{2}∠CBA$.所以$∠EAB+∠EBA=\frac{1}{2}(∠CAB+∠CBA)=\frac{1}{2}(180°-∠ACB)$.因为∠ACB=78°，所以$∠EAB+∠EBA=\frac{1}{2}(180°-78°)=51°$.所以∠AEB=180°-(∠EAB+∠EBA)=180°-51°=129°.