《2025年小题狂做九年级数学上册苏科版提优版》

1. 如图,在$△ABC$中,$AB= AC$,$∠C= 67.5^{\circ }$,以 AB 为直径的半圆与 BC,AC 分别相交于点 D,E,则$\widehat {AE}$的度数 (C)
A.$40^{\circ }$
B.$50^{\circ }$
C.$90^{\circ }$
D.$100^{\circ }$

答案： C

2. 如图,AB 是⊙O 的直径,BC,CD,DA 是⊙O 的弦,且$BC= CD= DA$,则$∠BCD$的度数为 (B)
A.$105^{\circ }$
B.$120^{\circ }$
C.$135^{\circ }$
D.$150^{\circ }$

答案： B

3. 如图,在$□ ABCD$中,$AB= AC= 4$,$AB⊥AC$,O 是对角线的交点. 若⊙O 过 A,C 两点,则图中阴影部分的面积为4.

答案： 4

4. 如图,在⊙O 中,AB 是⊙O 的直径,点 C,D,E 在圆上,$AC= 2$,$AD= 6$,$AE= 8$,$AB= 10$,则$\widehat {AD}$＜$\widehat {CE}$(填“＞”“＜”或“=”).

答案： ＜ 提示：连接 CE. 在△ACE 中，因为 AC=2，AE=8，所以 AE-AC＜CE＜AE+AC，即 6＜CE＜10. 因为 AD=6，所以 AD＜CE，所以$\widehat{AD}＜\widehat{CE}$.

5. 如图,半圆 O 的半径为 1,C 是半圆 O 上一点,且$∠AOC= 45^{\circ }$,D 是$\widehat {BC}$上的一动点,则四边形 AODC 的面积 S 最大时,$\widehat {CD}$的度数为90°.

答案： 90° 提示：如图，过点 C 作 CF⊥AO 于点 F，过点 D 作 DE⊥CO 于点 E. 因为 CO=AO=1，∠COA=45°，所以$CF=FO=\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以$S_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}AO\cdot CF=\frac{\sqrt{2}}{4}$. 因为△AOC 面积确定，所以要使四边形 AODC 的面积最大，则要使△COD 的面积最大. 以 CO 为底，DE 为高. 要使△COD 的面积最大，则 DE 最长. 因为 DE⊥CO，所以 DE≤DO，即当∠COD=90°时，DE 最长，S 最大. 此时$\widehat{CD}$的度数为 90°.

6. 如图,$\widehat {AB}$所对的圆心角$∠AOB=90^{\circ }$,半径为 8,C 是 OB 的中点,D 是$\widehat {AB}$上一点,CD 绕点 C 逆时针旋转$90^{\circ }$得到 CE,则 AE 长的最小值是______$4\sqrt{10}-8$.

答案： $4\sqrt{10}-8$ 提示：如图，连接 OD，以 OC 为边向下作正方形 OCTH，连接 AT,ET. 因为 OA=OB=8，OC=CB=CT=OH=HT=4，所以 AH=AO+OH=12. 由勾股定理，得$AT=\sqrt{AH^{2}+HT^{2}}=4\sqrt{10}$. 因为∠ECD=∠OCT=90°，所以∠ECD+∠OCE=∠OCT+∠OCE，即∠OCD=∠TCE. 易证△OCD≌△TCE(SAS)，所以 ET=OD=8. 因为$AE\geq AT-ET=4\sqrt{10}-8$，所以 AE 长的最小值为$4\sqrt{10}-8$.

7. 如图,C,D 是$\widehat {AB}$的三等分点,弦 AB 分别交 OC,OD 于点 E,F,求证：$AE= BF= CD.$

答案： 证明：如图，连接 AC,BD，设∠AOB=n°. 在⊙O 中，因为∠AOB=n°，C,D 为以点 O 为圆心的$\widehat{AB}$的三等分点，所以$∠AOC=\frac{1}{3}∠AOB=\frac{1}{3}× n^{\circ}=(\frac{n}{3})^{\circ}$. 因为 OA=OB，所以$∠OAB=∠OBA=(\frac{180-n}{2})^{\circ}$. 因为$∠AOC=(\frac{n}{3})^{\circ}$，所以$∠AEC=∠OAB+∠AOC=(\frac{n}{3}+\frac{180-n}{2})^{\circ}=(90-\frac{n}{6})^{\circ}$. 因为 OA=OC，$∠AOC=(\frac{n}{3})^{\circ}$，所以$∠ACE=(\frac{180-\frac{n}{3}}{2})^{\circ}=(90-\frac{n}{6})^{\circ}$，所以∠ACE=∠AEC，所以 AC=AE. 同理可得 BD=BF. 因为 C,D 是$\widehat{AB}$的三等分点，所以 AC=CD=BD，所以 AE=BF=CD.