《2025年小题狂做九年级数学上册苏科版提优版》

1. 如图,以△ABC的边AB为直径作⊙O交AC于点D,过点D作DE⊥BC于点E.若要使DE是⊙O的切线,则下列补充的条件不正确的是(D)

A.AD= CD
B.OD//BC
C.∠A= ∠C
D.OD= DE

答案： D

2. 如图,在平面直角坐标系xOy中,过格点A,B,C作一圆弧,点B与下列格点的连线中,能够与该圆弧相切的是(C)
A.点(0,3)
B.点(2,3)
C.点(5,1)
D.点(6,1)

答案： C

3. 如图,AB是半圆O的直径,点C在半圆上(不与点A,B重合),DE⊥AB于点D,交BC于点F,下列条件中能判断CE是⊙O切线的是(C)
A.∠E= ∠CFE
B.∠E= ∠ECF
C.∠ECF= ∠EFC
D.∠ECF= 60°

答案： C 提示:连接OC.因为OC=OB,所以∠OCB=∠B.因为DE⊥AB,所以∠BDF=90°,所以∠B+∠DFB=90°.因为∠EFC=∠BFD,所以∠B+∠EFC=90°.要使CE是⊙O的切线，则CE⊥OC,所以∠OCE=90°,所以∠OCB+∠ECF=90°,所以∠ECF=∠EFC.其他选项无法推出∠OCE=90°.

4. 如图,AB是⊙O的直径,要使得直线AT是⊙O的切线,需要添加的一个条件是∠TAC=∠B(写一个条件即可).

答案： ∠TAC=∠B(答案不唯一)

5. 在Rt△ABC中,∠C= 90°,AC= 3,BC= 4,以点C为圆心,r为半径作⊙C.若⊙C与斜边AB有两个公共点,则r的取值范围是$\frac{12}{5} ＜ r \leq 3$.

答案： $\frac{12}{5} ＜ r \leq 3$

6. 已知菱形ABCD的边长为4,∠BAD= 60°,M是线段AD的中点,P是对角线AC上的动点,连接PM,以点P为圆心,PM的长为半径作⊙P,当⊙P与菱形ABCD的边相切时,AP的长为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$或$\frac{4\sqrt{6}}{3}$.

答案： $\frac{4\sqrt{3}}{3}$或$\frac{4\sqrt{6}}{3}$ 提示:分两种情况:①如图1,当⊙P与菱形ABCD的边AD,AB相切时,由题意,得PM⊥AD.因为四边形ABCD是菱形,∠BAD=60°,所以∠DAP=30°.因为M是线段AD的中点,所以$AM = \frac{1}{2}AD = 2$.在Rt△APM中,$PM = \frac{1}{2}AP$,由勾股定理,得$PM^2 + AM^2 = AP^2$,即$(\frac{1}{2}AP)^2 + 2^2 = AP^2$,所以$AP = \frac{4\sqrt{3}}{3}$.②如图2,当⊙P与菱形ABCD的边CD,BC相切时,连接BD交AC于点O,过点P作PE⊥CD于点E,过点M作MF⊥AC于点F.易知E为切点,则PE=PM,设PE=PM=x.因为四边形ABCD是菱形,所以BD⊥AC,OA=OC.因为∠DAC=∠DCA=30°,所以$OD = \frac{1}{2}AD = 2$,$OA = \sqrt{3}OD = 2\sqrt{3}$,$MF = \frac{1}{2}AM = 1$,$AF = \sqrt{3}MF = \sqrt{3}$,$PC = 2PE = 2x$,所以$AC = 2OA = 4\sqrt{3}$,所以$AP = 4\sqrt{3}-2x$,$PF = AC - PC - AF = 3\sqrt{3}-2x$.在Rt△PMF中,由勾股定理,得$MF^2 + PF^2 = PM^2$,即$1^2 + (3\sqrt{3}-2x)^2 = x^2$,解得$x = \frac{6\sqrt{3}-2\sqrt{6}}{3}$或$x = \frac{6\sqrt{3}+2\sqrt{6}}{3}$(舍去),所以$AP = 4\sqrt{3}-2×\frac{6\sqrt{3}-2\sqrt{6}}{3} = \frac{4\sqrt{6}}{3}$.综上所述,AP的长为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$或$\frac{4\sqrt{6}}{3}$.

7.(2024盐城市盐都区期中)如图,在四边形ABCD中,AC,BD相交于点E,且AB= AC= AD,经过A,C,D三点的⊙O交BD于点F,连接CF.
(1)求证:CF= BF;
(2)若CD= CB,求证:CB是⊙O的切线.

答案：
(1) 证明:因为AB=AC,所以∠ACB=∠ABC.因为AB=AD,所以∠ADB=∠ABD.又因为∠ADB=∠ACF,所以∠ACF=∠ABD,所以∠ACB - ∠ACF=∠ABC - ∠ABD,即∠BCF=∠CBF,所以CF=BF;
(2) 如图,连接CO并延长交⊙O于点G,连接GF.因为CG为⊙O的直径,所以∠GFC=90°,所以∠G+∠GCF=90°.因为∠CDB=∠G,所以∠CDB+∠GCF=90°.又因为CD=CB,所以∠CDB=∠CBD,因为CF=BF,所以∠BCF=∠CBD,所以∠BCF=∠CDB,所以∠BCF+∠GCF=90°,所以∠BCG=90°,所以CG⊥BC,且CG为⊙O的直径,所以CB是⊙O的切线.