《2025年小题狂做九年级数学上册苏科版提优版》

1. 如图,正方形 ABCD 的边长为 1,中心为点 O,有一位置大小皆不定的正六边形 EFGHIJ 绕点 O 可任意旋转,在旋转过程中,这个正六边形始终在正方形 ABCD 内(包括正方形的边),则当这个正六边形的边长最大时,AE 的最小值为 (B)
A.$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$
C.$\frac{3+2\sqrt{3}}{6}$
D.$\frac{3-2\sqrt{3}}{6}$

答案： B 提示:如图,当正六边形的中心与点O重合,且EH=AB时,正六边形自由旋转且始终在正方形内,此时正六边形的边长最大,再当EH在正方形对角线AC上时,AE的值最小.因为正方形ABCD的边长为1,所以AC=√2,EH=1,所以AE=(AC - EH)/2=(√2 - 1)/2,即AE的最小值为(√2 - 1)/2.

2. (2024 南京市秦淮区期中)如图,在正八边形 ABCDEFGH 中,连接 AD,EH,AE,DH,AE 与 DH 交于点 O. 给出下列结论:①$BC^2+EH^2= AE^2$;②$\frac{AD}{AH}= 2+\sqrt{2}$;③$\angle AOD= 135^{\circ}$;④$S_{\text{八边形}ABCDEFGH}= 4S_{\text{四边形}ABCD}$. 其中正确的是 (C)

A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④

答案： C

3. (2024 南京市玄武区期中)如图,正五边形 ABCDE 的边 AB,AE 与$\odot O$分别相切于点 M,N,点 P 在$\widehat{MN}$上,连接 PM,PN,则$\angle MPN$的度数为144°.

答案： 144 提示:如图,连接OM,ON,在优弧AB上取一点Q,连接QM,QN.因为五边形ABCDE是正五边形,所以∠A=((5 - 2)×180°)/5=108°.因为正五边形ABCDE的边AB,AE与⊙O分别相切于点M,N,所以∠OMA=∠ONA=90°,所以∠MON=360° - ∠OMA - ∠ONA - ∠A=72°,所以∠MQN=1/2∠MON=36°.因为四边形PMQN是圆内接四边形,所以∠MPN + ∠MQN=180°,所以∠MPN=180° - ∠MQN=144°.

4. 如图,正六边形$A_1A_2A_3A_4A_5A_6$内部有一个正五边形$B_1B_2B_3B_4B_5$,且$A_3A_4// B_3B_4$,直线$l经过点B_2,B_3$,则直线$l与A_1A_2的夹角\alpha$的度数为______48°.

答案： 48° 提示:分别延长A₁A₂,A₄A₃交于点C,设直线l交A₃A₄于点D,交A₁A₂于点E.因为五边形B₁B₂B₃B₄B₅为正五边形,所以∠B₄B₅D=360°/5=72°.因为A₃A₄//B₃B₄,所以∠CDB₂=72°.因为六边形A₁A₂A₃A₄A₅A₆为正六边形,所以∠A₁=120°.因为A₁A₆//A₃A₄,所以∠C=60°.所以α=∠CED=180° - 72° - 60°=48°.

5. 如图,在正六边形 ABCDEF 中,$AB= 6$,点 M 在边 AF 上,且$AM= 2$. 若经过点 M 的直线$l$将正六边形的面积平分,则直线$l$被正六边形所截的线段长是______4√7.

答案： 4√7 提示:如图,设正六边形ABCDEF的中心为O,作直线MO交CD于点N,则直线MN将正六边形的面积平分,即所截的线段长是MN的长(直线MN即为直线l).连接OF,OA.过点M作MH⊥OF于点H.由条件,得MO=ON(用全等或中心对称均可证明),△OAF是等边三角形.因为AM=2,所以MF=AF - AM=4.因为MH⊥OF,所以∠FMH=90° - ∠AFO=30°.所以FH=1/2MF=2,所以MH=√(MF² - FH²)=2√3.又因为OH=OF - FH=4,所以OM=√(MH² + OH²)=2√7.所以MN=2OM=4√7.

6. 已知正方形 ABCD 的四个顶点都在$\odot O$上,E 是$\widehat{AB}$上的一点,连接 DE.
(1) 如图 1,连接 AE,BE,F 是 DE 上的一点,$DF= BE$,连接 AF. 求证:$\triangle ADF\cong\triangle ABE$.
(2) 在(1)的条件下,小明发现线段 DE,BE,AE 之间满足等量关系:$DE-BE= \sqrt{2}AE$. 请说明理由.
(3) 如图 2,连接 BE,CE. 若$BC= 5$,$BE= 1$,求 DE,CE 的长.

答案： （1）证明:因为四边形ABCD是正方形,所以AB=AD.在△ADF和△ABE中,{AD=AB,∠ADF=∠ABE,DF=BE},所以△ADF≌△ABE.
（2）解:由
(1)得,△ADF≌△ABE,所以AF=AE,∠DAF=∠BAE.在正方形ABCD中,∠BAD=90°,所以∠BAF + ∠DAF=90°.所以∠BAF + ∠BAE=90°,即∠EAF=90°.所以△EAF是等腰直角三角形,所以EF²=AE² + AF².所以EF²=2AE²,所以EF=√2AE.所以DE - BE=DE - DF=√2AE.
（3）解:连接BD,将△CBE绕点C顺时针旋转90°至△CDH的位置.因为四边形BCDE内接于⊙O,所以∠CBE + ∠CDE=180°.所以∠CDH + ∠CDE=180°,所以E,D,H三点共线.在正方形ABCD中,因为∠BAD=∠BCD=90°,所以∠BED=90°.因为BC=CD,所以弧BC=弧CD,∠DBC=∠DEC=45°.所以△CEH是等腰直角三角形.在Rt△BCD中,由勾股定理,得BD=√2BC=5√2.在Rt△BDE中,由勾股定理,得DE=√(BD² - BE²)=7.在Rt△CEH中,由勾股定理,得EH²=CE² + CH²,即(DE + DH)²=2CE².因为BE=DH,所以(DE + BE)²=2CE²,即64=2CE²,解得CE=4√2.