《2025年假日数学吉林出版集团股份有限公司七年级数学华师大版》

18. 如图①,已知∠AOB,射线O'C.
【作图思考】
用直尺和圆规作∠CO'D= ∠AOB(作出符合条件的一种情况即可,保留作图痕迹,不要求写作法).
【操作探究】
(1)将∠AOB与上述所作∠CO'D按如图②所示方式摆放,使OA//O'C. 判断OB与O'D的位置关系,并说明理由.
(2)将∠AOB与上述所作∠CO'D按如图③所示方式摆放,使点O与点O'重合,∠CO'D可绕点O旋转(本小题中的角均大于0°且小于等于180°).
ⅰ. 若OC平分∠BOD,∠AOD= k∠BOC,则k= ____；
ⅱ. 若∠AOB= 40°,且∠AOD= 5∠BOC,求∠BOC的大小.

答案： 【作图思考】
作图步骤如下（保留作图痕迹）：
1. 以$O$为圆心，任意长为半径画弧，分别交$OA$、$OB$于点$E$、$F$。
2. 以$O'$为圆心，$OE$长为半径画弧，交$O'C$于点$G$。
3. 以$G$为圆心，$EF$长为半径画弧，交前弧于点$H$。
4. 过$H$作射线$O'D$，则$\angle CO'D=\angle AOB$。
【操作探究】
- **
(1)判断$OB$与$O'D$的位置关系
解：$OB// O'D$。
理由：因为$OA// O'C$，所以$\angle AOB=\angle BO'O$（两直线平行，内错角相等）。
又因为$\angle CO'D = \angle AOB$，所以$\angle BO'O=\angle CO'D$，所以$OB// O'D$（内错角相等，两直线平行）。
- **
(2)计算$k$的值和$\angle BOC$的大小
ⅰ.求$k$的值
因为$\angle AOB=\angle COD$，$OC$平分$\angle BOD$，所以$\angle BOC=\angle DOC$。
设$\angle BOC = x$，则$\angle DOC=x$，$\angle AOB=\angle COD = 2x$，$\angle AOD=\angle AOB+\angle BOC+\angle DOC=4x$。
又因为$\angle AOD = k\angle BOC$，所以$k = 4$。
ⅱ.求$\angle BOC$的大小
设$\angle BOC=x$，因为$\angle AOB = \angle COD = 40^{\circ}$。
当$OD$在$\angle AOB$外部时：
$\angle AOD=\angle AOB+\angle BOC+\angle COD=40^{\circ}+x + 40^{\circ}=80^{\circ}+x$。
又因为$\angle AOD = 5\angle BOC$，所以$80^{\circ}+x = 5x$，
移项可得$5x-x=80^{\circ}$，即$4x = 80^{\circ}$，解得$x = 20^{\circ}$。
当$OD$在$\angle AOB$内部时：
$\angle AOD=\angle COD-\angle BOC+\angle AOB-\angle BOC=40^{\circ}+40^{\circ}-2x=80^{\circ}-2x$。
又因为$\angle AOD = 5\angle BOC$，所以$80^{\circ}-2x = 5x$，
移项可得$5x + 2x=80^{\circ}$，即$7x = 80^{\circ}$，解得$x=\frac{80}{7}^{\circ}$。
综上，$\angle BOC$的大小为$20^{\circ}$或$\frac{80}{7}^{\circ}$。
故答案依次为：$4$；$20^{\circ}$或$\frac{80}{7}^{\circ}$。