《2025年假日数学吉林出版集团股份有限公司七年级数学华师大版》

15. 如图,在由边长为1的小正方形组成的网格中,$△ABC经过平移后得到△A'B'C'$,图中标出了点B的对应点$B'$. 根据下列条件,利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题(保留画图痕迹):
(1)画出$△A'B'C'$;
(2)画出$△ABC$的高BD;
(3)连结$AA'$、$CC'$,那么$AA'与CC'$的位置关系和数量关系是______,线段AC扫过的图形的面积为______.

答案： 1. （1）
平移的性质：对应点的连线平行且相等。
由点$B$到$B'$的平移规律（向右平移$5$个单位，向上平移$1$个单位），找到点$A$、$C$平移后的对应点$A'$、$C'$（点$A$向右平移$5$个单位，向上平移$1$个单位得到$A'$；点$C$向右平移$5$个单位，向上平移$1$个单位得到$C'$），然后连接$A'B'$、$B'C'$、$A'C'$，得到$\triangle A'B'C'$。
2. （2）
利用网格，过点$B$作$AC$的垂线$BD$（根据网格的直角，通过平移等方法作出$BD\perp AC$）。
3. （3）
位置关系和数量关系：
根据平移的性质：平移前后对应点的连线平行且相等。
因为$\triangle ABC$平移得到$\triangle A'B'C'$，$A$与$A'$、$C$与$C'$是对应点，所以$AA'// CC'$，$AA' = CC'$。
线段$AC$扫过的图形是平行四边形$ACC'A'$：
平行四边形的底$AC$的长度：根据勾股定理$AC=\sqrt{2^{2}+4^{2}}=\sqrt{4 + 16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，高为平移的距离$\sqrt{1^{2}+5^{2}}=\sqrt{26}$（这里也可以用割补法求面积）。
另一种方法：利用平行四边形面积公式$S = 底×高$，通过网格可知，以$AA'$（或$CC'$）为底，$AA'=\sqrt{1^{2}+5^{2}}=\sqrt{26}$，高为$2\sqrt{2}$（通过网格的横向和纵向距离计算），也可以根据平移的性质，$AC$扫过的图形的面积等于$5× 4 = 20$（把平行四边形$ACC'A'$放在一个$5×4$的矩形中，通过割补法，平行四边形$ACC'A'$的面积等于$5×4$）。
故答案依次为：$AA'// CC'$，$AA' = CC'$；$20$。

16. 如图,在$△ABC$中,$∠B = 38^{\circ},∠C = 112^{\circ}$.
(1)利用尺规作图:(只保留作图痕迹,不要求写出作法)
①作出$△ABC$的边BC上的高AD;
②作出$∠A$的平分线AE.
(2)求$∠DAE$的度数.

答案： 1. 首先求$\angle BAC$的度数：
根据三角形内角和定理$\angle BAC+\angle B+\angle C = 180^{\circ}$。
已知$\angle B = 38^{\circ}$，$\angle C = 112^{\circ}$，则$\angle BAC=180^{\circ}-\angle B - \angle C$。
所以$\angle BAC=180^{\circ}-38^{\circ}-112^{\circ}=30^{\circ}$。
2. 然后求$\angle BAD$的度数：
因为$AD\perp BC$，在$Rt\triangle ABD$中，$\angle ADB = 90^{\circ}$，$\angle B = 38^{\circ}$，根据直角三角形两锐角互余，$\angle BAD = 90^{\circ}-\angle B$。
所以$\angle BAD=90^{\circ}-38^{\circ}=52^{\circ}$。
3. 接着求$\angle BAE$的度数：
因为$AE$平分$\angle BAC$，所以$\angle BAE=\frac{1}{2}\angle BAC$。
已知$\angle BAC = 30^{\circ}$，则$\angle BAE=\frac{1}{2}×30^{\circ}=15^{\circ}$。
4. 最后求$\angle DAE$的度数：
由$\angle DAE=\angle BAD-\angle BAE$。
把$\angle BAD = 52^{\circ}$，$\angle BAE = 15^{\circ}$代入可得：$\angle DAE=52^{\circ}-15^{\circ}=37^{\circ}$。
综上，$\angle DAE$的度数为$37^{\circ}$。