《2025年假日数学吉林出版集团股份有限公司七年级数学华师大版》

15. 公园中的一条小路使用正六边形、正方形、正三角形三种地砖按照如图方式铺设.
(1)每增加一块正六边形地砖,正方形地砖会增加____块,正三角形地砖会增加____块；
(2)若铺设这条小路用去 $ a $ 块正六边形地砖,则正方形地砖的数量为____块,正三角形地砖的数量为____块；(用含 $ a $ 的代数式表示)
(3)为了增加道路的趣味性,计划将所有正方形地砖换成创意地砖,已知每块正方形地砖的边长为 $ 80 \mathrm{cm} $,若铺设这条小路用去 $ a $ 块正六边形地砖,求创意地砖的总面积为多少? 若 $ a = 25 $,且每平方米创意地砖的价格为 120 元,则需要多少元?

答案： 15.
(1)5 4
(2)$(5a + 1)$ $(4a + 2)$
(3)创意地砖的总面积为$(3.2a + 0.64)m^{2}$；若$a = 25$，且每平方米创意地砖的价格为 120 元，则需要 9676.8 元.

16. 【问题再现】
我们知道,可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面. 如图,用正方形镶嵌平面,可以发现在点 $ O $ 周围围绕着 4 个正方形的内角.
试想：如果用正六边形来镶嵌平面,在一点周围应该围绕着____个正六边形的内角.
【问题提出】
如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面,可能设计出几种不同的组合方案?
【问题解决】
猜想 1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌?
分析：我们可以将此问题转化为数学问题来解决. 从平面图形的镶嵌中可以发现,解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点. 具体地说,就是在镶嵌平面时,一点周围围绕的各个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角.
验证 1：在镶嵌平面时,设围绕某一点有 $ x $ 个正方形和 $ y $ 个正八边形的内角可以组成一个周角. 根据题意,可得 $ 90x + \frac{(8 - 2) × 180}{8} \cdot y = 360 $,整理得 $ 2x + 3y = 8 $,我们可以找到唯一一组适合方程的正整数解为 $ \begin{cases} x = 1, \\ y = 2. \end{cases} $
结论 1：镶嵌平面时,在一点围绕着 1 个正方形和 2 个正八边形的内角可以组成一个周角,所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌.
猜想 2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌? 若能,请按照上述方法进行验证,并写出所有可能的方案；若不能,请说明理由.
验证 2：____；结论 2：____.
上面,我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况,仅仅得到了一部分组合方案,相信同学们用同样的方法,一定会找到其他可能的组合方案.
【问题拓广】
请你仿照上面的研究方式,探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案,并写出验证过程.
猜想 3：____；
验证 3：____；
结论 3：____.

答案： 16. 问题再现：3
验证 2：在镶嵌平面时，设围绕某一点有 a 个正三角形和 b 个正六边形的内角可以组成一个周角，
根据题意，可得$60a + 120b = 360$.
整理得$a + 2b = 6$.
可以找到两组适合方程的正整数解为$\begin{cases}a = 2,\\b = 2\end{cases}$和$\begin{cases}a = 4,\\b = 1.\end{cases}$
结论 2：镶嵌平面时，在一个顶点围绕着 2 个正三角形和 2 个正六边形的内角或者围绕着 4 个正三角形和 1 个正六边形的内角可以组成一个周角，所以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌.
猜想 3：是否可以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合进行平面镶嵌？
验证 3：在镶嵌平面时，设围绕某一点有 m 个正三角形、n 个正方形和 c 个正六边形的内角可以组成一个周角.
根据题意，可得$60m + 90n + 120c = 360$.
整理得$2m + 3n + 4c = 12$.
可以找到唯一一组适合方程的正整数解为$\begin{cases}m = 1,\\n = 2,\\c = 1.\end{cases}$
结论 3：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着 1 个正三角形、2 个正方形和 1 个正六边形的内角可以组成一个周角，所以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合可以进行平面镶嵌.（说明：本题答案不唯一，符合要求即可）