《2025年假日数学吉林出版集团股份有限公司七年级数学华师大版》

11. 如图,已知正五边形 $ ABCDE $, $ AF // CD $,交 $ DB $ 的延长线于点 $ F $,求 $ \angle BAF $ 的度数.

答案： 11. $∠BAF = 36^{\circ}$

12. 如图,在四边形 $ ABCD $ 中, $ \angle A = \angle C = 90^{\circ} $, $ BE $、 $ DF $ 分别是 $ \angle ABC $、 $ \angle ADC $ 的平分线.
(1)若 $ \angle 1 = 33^{\circ} $,求 $ \angle 2 $ 的度数；
(2)判断 $ BE $ 与 $ DF $ 的位置关系,并说明理由.

答案： 1. （1）
解：
因为$BE$是$\angle ABC$的平分线，$\angle1 = 33^{\circ}$，所以$\angle ABC=2\angle1 = 66^{\circ}$。
又因为$\angle A=\angle C = 90^{\circ}$，四边形内角和为$(4 - 2)×180^{\circ}=360^{\circ}$，则$\angle ADC=360^{\circ}-\angle A-\angle C-\angle ABC$。
把$\angle A = 90^{\circ}$，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle ABC = 66^{\circ}$代入可得：$\angle ADC=360^{\circ}-90^{\circ}-90^{\circ}-66^{\circ}=114^{\circ}$。
因为$DF$是$\angle ADC$的平分线，所以$\angle2=\frac{1}{2}\angle ADC$。
则$\angle2=\frac{1}{2}×114^{\circ}=57^{\circ}$。
2. （2）
解：$BE// DF$。
理由：
因为$BE$平分$\angle ABC$，$DF$平分$\angle ADC$，所以$\angle ABE=\angle1=\frac{1}{2}\angle ABC$，$\angle ADF=\angle2=\frac{1}{2}\angle ADC$。
由四边形内角和$\angle A+\angle ABC+\angle C+\angle ADC = 360^{\circ}$，$\angle A=\angle C = 90^{\circ}$，可得$\angle ABC+\angle ADC=180^{\circ}$。
那么$\frac{1}{2}\angle ABC+\frac{1}{2}\angle ADC = 90^{\circ}$，即$\angle1+\angle2 = 90^{\circ}$。
在$\triangle ABE$中，$\angle A = 90^{\circ}$，所以$\angle AEB+\angle ABE=90^{\circ}$（直角三角形两锐角互余），又因为$\angle ABE=\angle1$，所以$\angle AEB+\angle1 = 90^{\circ}$。
因为$\angle1+\angle2 = 90^{\circ}$，所以$\angle AEB=\angle2$（同角的余角相等）。
根据同位角相等，两直线平行，所以$BE// DF$。
综上，（1）$\angle2 = 57^{\circ}$；（2）$BE// DF$。

13. 我们在用边长相同的正多边形进行平面镶嵌时,各正多边形重合的顶点叫拼接点. 如图①, $ O $ 就是拼接点. 我们发现,各正多边形围绕一个拼点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个周角 $ (360^{\circ}) $.
(1)如果我们只用一种边长相同的正多边形镶嵌,那么下面正多边形中,不能进行镶嵌的是____. (填序号)
①正三角形
②正方形
③正五边形
④正六边形
(2)为了使镶嵌图案美丽多变,我们有时也可以用边长相同的两种正多边形进行镶嵌,如图②,正三角形与正方形的平面镶嵌,在一个拼接点的周围有 3 个正三角形和 2 个正方形.
ⅰ. 如果我们用边长相同的正三角形与正六边形进行镶嵌,求一个拼接点的周围有几个正三角形和几个正六边形；
ⅱ. 我们也可以用边长相同的正五边形和正____边形进行镶嵌.

答案： 13.
(1)③
(2)i. 在平面镶嵌时，一个拼接点的周围有 2 个正三角形和 2 个正六边形或 4 个正三角形和 1 个正六边形.
ii. 十